ZKSwap團隊解讀零知識證明算法之Bulletproofs：Range Proof（1）_Proof

前言

Bulletproofs，又一個有意思的零知識證明算法，相信讀者已經很熟悉它了。和zk-snark相比，它不需要可信設置；和zk-stark算法相比，它具有較小的proofsize。根據論文，它有兩個方面的應用：

用于rangeproof；用于一般算術電路的零知識證明。下面，讓我們先看一下Bulletproofs是如何高效的實現第一點。Rangeproof

1.預備知識

aL：表示向量{a1、a2……an}

2n：表示向量{20、21…2n-1}

<a、b>:表示向量內積∑ai*bi，結果是一個值

aob：向量對應位相乘，{a1*b1……anbn}，結果是一個向量

Paolo Ardoino：高盈利能力使Tether能夠開發新的業務領域:金色財經報道，Tether首席技術官Paolo Ardoino表示，高盈利能力使Tether能夠開發新的業務領域。我們未來計劃的吸引力在于，我們可以開始在穩定幣產品之外實現自身多元化，并成為端到端技術提供商，這將需要一些相關技術領域的額外專業知識。因此，能源、數據交換、金融基礎設施將成為未來 6-12 個月甚至可能 48 個月的關鍵。

金色財經此前報道，2023年第一季度，這家 USDT 發行公司凈收入14.8 億美元，是上一季度的兩倍。[2023/5/26 10:40:42]

2.證明

Alice想要證明?v??=>則，需要證明一個relation得成立，如下所示：

{：V=?grhv?^v??}

預警：黑客利用遠程控制軟件向日葵漏洞盜取加密錢包資產，建議卸載:4月3日消息，據推特用戶@0xAA_Science披露，這兩天很多人因為領取空投使用向日葵（遠程桌面軟件），加密錢包被盜了。黑客可以利用這個漏洞，遠程控制用戶的錢包轉錢。該用戶表示，電腦用過遠程桌面軟件的，包括向日葵、todesk、TeamViewer等，建議卸載。

根據其分享的資料，向日葵遠程控制軟件是一款遠程控制軟件，2022年2月互聯網披露向日葵遠程控制軟件舊版本中存在遠程命令執行漏洞，向日葵遠程控制軟件會監聽高端口 (默認40000以上)，攻擊者可構造惡意請求獲取Session，從而通過身份認證后利用向日葵遠程控制軟件相關API接口執行任意命令。[2023/4/3 13:41:29]

public-xwitness-wrelation-R

泰國央行數字貨幣專家：CBDC將是新型貨幣的開放基礎設施:7月14日消息，在今日舉辦的“全球Web3生態創新峰會?新加坡”會議上，泰國央行數字貨幣高級專家Tansaya Kunaratskul表示，他們將央行CBDC設想為新型貨幣的開放基礎設施，在未來可能會有新的數字貨幣或任何更好的支付方式，但CBDC可能是所有這些貨幣可以構建的基礎設施；作為政策制定者在嘗試推出正確的政策，必須考慮權衡，是否有合適的設計以及這項技術是否能夠實現設想。同時她認為，就像現金、電子貨幣以及私人發行的債券等可以共存，未來數字貨幣也可以相互共存。（DeFi之道）[2022/7/14 2:12:46]

即，對于公開信息x，Alice有隱私信息w，使得關系R成立。

令aL為金額v的在范圍內的二進制形式，則aL={a1、a2……an}?{0,1}n，且滿足<aL,2n?>=v。因此，證明者需要證明以下幾個等式相等：

迪拜成立重點發展元宇宙的委員會:金色財經消息，迪拜成立了一個委員會，負責跟蹤數字經濟的最新發展，預計該委員會還將支持迪拜統治者將迪拜打造成“虛擬世界中的關鍵城市”的努力。

迪拜執行委員會（DEC）主席謝赫哈姆丹透露，該委員會的工作組已經在研究“迪拜元宇宙戰略的關鍵支柱和目標”。根據一份報告稱，該戰略旨在“到2030年將虛擬世界部門對迪拜經濟的貢獻提高到40億美元”。報告還稱，迪拜統治者希望將虛擬世界對迪拜國內生產總值（GDP）的貢獻提高到1%。[2022/5/22 3:33:36]

等式(1)確保了承諾V和金額v的綁定關系，等式(2)確保了v的范圍，等式(3)、(4)確保了aL?元素只屬于{0,1}。等式(2)/(3)/(4)總共包含了2n+1個約束，其中公式(2)1個，公式(3)(4)各n個。接下來，為了效率，我們需要把2n+1個約束轉換成1個約束。

3.2n+1個約束轉換成1個約束

=>預備：從Zp?中任意選擇一個數y，則b=0n是等式<b,yn>=0成立的充分條件；因為當b!=0n，等式成立的概率僅有n/p，p是有限域，遠大于n。因此，如果有<b,yn>=0，那么驗證者愿意相信b!=0n?。

利用這個理論，我們把等式(2)/(3)/(4)做以下轉換：

驗證者隨機選取一個數y發送給證明者證明者要證明：

同理，等式(5)確保了v的范圍，等式(6)(7)確保了aL?元素只屬于{0,1}。此時2n+1個約束轉換成3個約束，接下來，還需要做進一步的處理：

驗證者隨機選取一個數z發送給證明者證明者利用z對公式(5)(6)(7)進行線性組合，得到如下公式：z2**<aL、2n?>+z*<aL?-1n-aR、yn>+<aL、aR?oyn?>=z2?*v(8)

至此，我們已經把2n+1個約束轉換成1個約束。下面我們對公式(8)做進一步的優化，把三個點積優化成1個點積。

4.三個點積優化成1個點積

=>令

L=aL?-z*1n

R=(aR?+z*1n)oyn?+z2?*2n

δ=(z–z2)*<1n,yn?>-z3*<1n,2n?>

5.驗證：

證明者把L/R/V發送給驗證者；驗證者事先算好δ驗證者根據L算出來aL，根據<aL,2n?>=v算出v驗證者根據L、R、v、δ驗證等式<L,R>=z2?*v+δ因為y，z都是驗證者提供，因此如果驗證者如果能驗證公式(9)成立，則相信等式(5)(6)(7)成立，則相信等式(2)(3)(4)成立，則相信v滿足關系v?。

但是，可以看到上述過程，泄露了v的信息，因此需要一個零知識證明協議。

6.一個零知識證明協議

由于L、R包含了v的相關信息，因此，我們需要添加兩個盲因子sL、sR來隱藏aL，aR。如公式(10)(11)所示：

此時，定義公式(12)

可以看出系數t0是l(x)和r(x)常數項的乘積，即滿足：

t0?=<L,R>=z2*v+δ

因此，問題由證明：

<L,R>=z2*v+δ

轉化成了，在任意一點x，驗證者驗證多項式值l(x),r(x),t(x)滿足關系：

<l(x),r(x)>=t(x)

多項式值l(x),r(x),t(x)由證明者提供，為了保證l(x)，r(x)well-formed，即：

需要校驗：

=>當且僅當l/rwell-formed，等式成立

為了保證t(x)well-fromed，即：

t=t0?+t1x+t2x2

需要校驗：

=>?當且僅當t和τx?welle-formed，等式成立

具體的協議流程圖如下圖所示：

總結

從上述流程可以看出，一次rangeproof，證明者需要發送總共**{l/r/t/τx?/μ/T1?/T2/A/S}**個元素給驗證者，總共2n+3個Zp元素，4個G元素。下一篇文章將細講，Bulletproofs如何將交互復雜度降低到對數級O(log(n))。

附錄

Bulletproofs論文：https://ieeexplore.ieee.org/stamp/stamp.jsp?tp=&arnumber=8418611

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