AMM 的一般理論：恒定乘積以外，其他數學函數能降低無常損失嗎？_AMM

原文標題：《AMM的一般理論》，作者：鄒傳偉，萬向區塊鏈首席經濟學家。

以?Uniswap?為代表的恒定乘積AMM在加密資產市場取得了巨大成功，但也受無常損失之累。一些項目試圖在Uniswap的基礎上進行改進，比如引入預言機報價來降低無常損失，但尚未有公認的成功改進方案。

要更好地理解這些問題，需要回到AMM的一般理論：1.除了恒定乘積公式以外，還能采取其他數學函數嗎，這些數學函數應該滿足哪些要求？2.在其他數學函數下，也會有無常損失嗎？3.什么樣的數學函數是最佳的？4.AMM與加密資產市場的其他交易方式的核心區別是什么？

本文試圖回答這些問題，共分三部分：第一部分討論AMM的一般形式，第二部分討論AMM的若干特殊形式，第三部分比較AMM與加密資產市場的其他交易方式。

Smilee Finance v1.69已上線，并發布Synthetic AMM、Directional Impermanent Gain:5月22日消息，鏈上衍生品協議 Smilee Finance v1.69 版本已上線，并發布新產品 Synthetic AMM、Directional Impermanent Gain。AMM 允許在任何時候以基于 Black & Scholes 模型的市場驅動定價來交易無固定收益期權，Directional Impermanent Gain 可以提供更高的資本效率、更多的杠桿作用于更多的無常收益。該版本第二、三部分即將推出。金色財經此前消息，鏈上衍生品協議Smilee Finance完成200萬美元種子輪融資，Dialectic領投。[2023/5/22 15:17:38]

AMM的一般形式

數據：借貸平臺dAMM Finance流動性突破100萬美元:金色財經報道，借貸平臺dAMM Finance在本周上線的幾個小時內，其鏈上透明借貸平臺已經獲得了逾110萬美元的流動性。隨著流動性開采激勵措施的引入，預計產量將繼續大幅增長。

dAMM的目標是將所有加密貨幣貸款整合為一個社區所有的平臺，提供收益并將激勵DeFi貸款機構在未來幾周內遷移其資產。（the block）[2022/9/9 13:19:53]

為分析的簡單，本文只研究針對兩種加密資產的AMM，但相關研究很容易拓展到三種或三種以上加密資產的情形。

考慮兩種加密資產，分別稱為X和Y，并以加密資產X為記賬單位，也就是所有價格、市值的單位均為加密資產X。AMM的狀態體現為流動性池中兩種加密資產的數量，假設在某一時刻為(x,y)。在AMM的一般形式下，不管兩種加密資產之間如何交易，流動性池始終滿足

SushiSwap基于Stargate啟動跨鏈AMM SushiXSwap:7月21日消息，SushiSwap宣布基于跨鏈橋Stargate啟動跨鏈 AMM SushiXSwap，允許用戶跨鏈橋接和交易多種代幣，目前支持的網絡包括Optimism、Arbitrum、Fantom、BNB Chain和Avalanche。

SushiSwap表示，SushiXSwap是一個統一的多鏈用戶界面，用于在任何主要鏈之間交易代幣，使用戶能夠在每條鏈上使用協議流動性池，在目標鏈上獲得所需的資產。[2022/7/21 2:29:26]

在流動性池狀態為(x,y)時，流動性池中兩種加密資產的市值之間的關系為

(1)和(7)從不同角度刻畫了AMM，它們之間是相互等價的。換言之，通過限定流動性池中兩種加密資產的市值之間的函數關系，也能定義AMM。

ErgoDEX已成功移植AMM DEX合約到Cardano網絡:據Ergo官方消息，ErgoDEX團隊最近完成了一項重大開發里程碑，即基本AMM DEX合約已成功移植到Cardano的Plutus。ErgoDEX正在開發Ergo和Cardano兩大公鏈上的首個跨鏈去中心化交易所，并致力于做到透明和代碼開源。借助Ergo和Cardano采用的擴展UTXO模型，此跨鏈DEX將讓Ergo和Cardano生態上不同類型交易所之間共享流動性成為可能。

據ErgoDEX官網路線圖，Ergo和Cardano網絡上的去中心化交易所開發分6個階段：委托單簿DEX核心開發、AMM DEX核心開發、AMM DEX前端開發、委托簿單DEX前端開發、Cardano網絡的ErgoDEX和大型測試。已完成委托單簿DEX核心開發和AMM DEX核心開發兩個階段，目前正在進行第三階段AMM DEX前端開發。[2021/7/21 1:07:24]

(8)盡管是一個簡單分析，但對理解加密資產市值有豐富含義。第一，即使在加密資產數量不變的情況下，它們之間的交易會改變它們之間的價格關系，從而使加密資產總市值發生變化。

總的來說，這一部分對AMM的一般形式的分析主要得到如下結論：

AMM的若干特殊形式

根據第一部分的討論，任何單調遞減凸函數均可以用來定義AMM。

為方便與Uniswap的比較，接下來使用一個等價表述

(16)說明，在其他條件一樣的情況下，α越大，無常損失的數值越小。這一點也通過對(15)的數值計算驗證：

表1：α對無常損失的影響

如果讓α取值為1/2，就得到Uniswap的恒定乘積公式，因此Uniswap屬于一類廣義AMM的特例。因為沒有任何一對加密資產在基本面上完全一樣，所以α=1/2沒有邏輯上的必然性。如果要降低無常損失，可以適當調高α。比如，如果加密資產X是穩定幣，加密資產Y是以太幣，α完全可以大于1/2，一個選項是α=2/3。在一般情況下，α可以通過AMM社區自治決定。

AMM與其他交易方式的比較

(2)可以等價表述為

引入如下函數

總的來說，AMM的核心機制是：流動性提供者基于算法承諾，為投資者提供關于交易價格和數量的確定性。這種確定性的代價是流動性提供者鎖定流動性并承擔無常損失。

為更好理解這一點，需要將AMM與拍賣機制相比較。在加密資產市場的各種交易機制中，只要存在訂單薄，不管有沒有做市商，其核心都是拍賣機制。接下來以?Algorand?采取的荷蘭式拍賣為例說明。盡管這個例子是出售資產，前文對AMM的分析是從購買資產的角度進行，但不同視角不影響分析邏輯。

荷蘭式拍賣也被稱為「減價式拍賣」：賣方由高往低喊價，直到有人愿意購買，此價即為成交價。在策略上可以證明，荷蘭式拍賣等價于第一價格封閉式拍賣。在第一價格封閉式拍賣中，所有競拍者同時提交「暗標」，從而沒有競拍者知道其他競拍者的出價。出價最高的競拍者獲得標的，并支付他的出價。

Algorand的荷蘭式拍賣與美國國債一級市場拍賣類似。美國國債一級市場采用荷蘭式拍賣有相當長歷史。從1929年-1992年，美國財政部使用「多重價格」荷蘭式拍賣。第一步：一級交易商提交自己能接受的到期收益率及在該到期收益率上愿意購買的數量。第二步：所有競標將按到期收益率從低到高排列，直到意愿購買數量等于債券的供給數量，臨界到期收益率即為清算價。第三步：所有提交的到期收益率低于清算價的一級交易商按自己愿意購買的數量獲得債券，購買價格根據各自的到期收益率計算。臨界到期收益率上的一級交易商按各自愿意購買的數量分配剩余額度。因此，在競標中勝出的一級交易商購買債券的價格是不一樣的。

1992年至今，美國財政部改用「單一價格」荷蘭式拍賣。「單一價格」荷蘭式的拍賣的前兩步與「多重價格」荷蘭式拍賣一樣。在第三步，仍是所有提交的到期收益率低于清算價的一級交易商按自己愿意購買的數量獲得債券，但購買價格根據清算價計算。「單一價格」荷蘭式拍賣中引入了兩類競標：第一種是競爭性的，即競標者要同時說明自己能接受的到期收益率及在該到期收益率上愿意購買的數量；第二種是非競爭性的，即競標者只需說明自己愿意購買的數量。在存在兩類競標的情況下，清算價的確定方法同上。但在債券額度分配上引入優先順序：先滿足非競爭性競標，再將剩余額度分配給競爭性競標，按提交的到期收益率從低到高分配。

Algorand的荷蘭式拍賣相當于「單一價格」+競爭性競標。第一步：確定Algo拍賣數量以及起始競拍價格；第二步：競拍價格按時間線性遞減，在每個競拍價格上記錄競拍者愿意購買的數量，直到累計的愿意購買數量等于拍賣數量，臨界價格即為清算價；第三步：競拍價格高于清算價的競拍者勝出，按競拍價格從高到低分配Algo額度，價格統一為清算價。

圖1：Algo競拍價隨時間線性遞減

圖2：Aglo清算價的確定

從荷蘭式拍賣實踐不難看出，交易價格和數量由市場決定，在事前看是高度不確定性的，而AMM能提供這方面的確定性。對AMM與場內集中撮合、場外詢價成交等交易機制的區別，也可以按類似邏輯理解。

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