LWE問題及其公鑰密碼方案_MOD

錯誤學習問題（Learning with Errors，簡稱LWE）由Regev在2005年提出，該問題已經成為格密碼學中廣泛使用的密碼學基礎。LWE問題是一個平均情況下的問題，Regev在論文中將LWE問題量子歸約到格上標準困難問題。因此在LWE問題之上建立的所有密碼學方案，都能夠將其安全建立在格問題的最壞情況下困難性之上。

本文節選自陳智罡博士的博士論文。

1.1.1     LWE問題

LWE問題就是給出一些關于秘密向量s的“近似”隨機線性方程，其目標是恢復秘密向量s。例如給出如下一些“近似”隨機線性方程：

DeFi和鏈游公司Spielworks與Cronos等合作推出 Web3 游戲加速器“Wombat X”:金色財經報道，DeFi 和鏈游公司 Spielworks 宣布推出 Web3 游戲加速器“Wombat X”，該加速器的合作伙伴包括基于 Cosmos SDK 構建的 EVM 兼容 Layer 1 網絡 Cronos、以及 Web3 基礎設施服務提供商 Newcoin，其他參與者包括 EOS Network 基金會、Avicenne、Lifty、Beamable。據悉，入選 Wombat X 加速器的 Web3 游戲項目將獲得資助、教育、以及游戲玩家社區參與等方面的支持。（businesswire）[2023/5/12 14:58:36]

14s1+ 15s2+ 5s3+ 2s4≈8  (mod 17)

Binance Labs 宣布戰略投資鏈游開發商 AlwaysGeeky Games:3月4日消息，Binance Labs宣布戰略投資AlwaysGeeky Games ，金額為110萬美元，該項目是一個名為Voxies的NFT項目和名為Voxies Tactics的游戲的創建者。

據悉，Voxie Tactics是一款復古風格的戰術角色扮演游戲，允許玩家將他們在 Voxies NFT 項目中擁有的自己的Voxies角色帶入游戲，以獲得額外的游戲玩法優勢，以及定制適合玩家的可玩體驗玩家擁有的Voxie角色。[2022/3/5 13:38:36]

13s1+ 14s2+ 14s3+ 6s4≈16 (mod 17)

動態 | Elwood推出系列產品吸引大型機構投資數字資產:據彭博社消息，Elwood Asset Management計劃推出一系列產品，以吸引大型機構投資者投資數字資產。[2019/3/13]

6s1+ 10s2+ 13s3+ 1s4≈3 (mod 17)

10s1+ 4s2+ 12s3+ 16s4≈12 (mod 17)

…………

9s1+ 5s2+ 9s3+ 6s4≈9   (mod17)

在上述每個方程中，加入了一個小的錯誤，該錯誤在+1和-1之間，目標是恢復向量s。如果上述方程中沒有加入錯誤，則使用高斯消元法就可以在多項式時間內恢復向量s。但是由于加入了錯誤，使得該問題變得非常的困難。

愛爾蘭國立高威大學（NUI Galway）學者呼吁政府推廣區塊鏈技術應用:據Cointelegraph報道，近日，愛爾蘭國立高威大學（NUI Galway）一批研究區塊鏈的學者呼吁政府在愛爾蘭更加廣泛地推廣區塊鏈技術。學者稱，愛爾蘭只有40%的企業采用了這項技術，利用率相對較低。[2018/5/12]

LWE問題定義 參數n ≥1，模q ≥ 2，是上的一個錯誤概率分布。是上的一個概率分布，該分布通過如下方式獲得：隨機均勻選擇一個向量a∈，根據分布選擇錯誤向量e∈，輸出（a，b=< a , s > +emod q）。LWE問題是對于s∈，給出任意數量的從取出的獨立實例，其目的是輸出s。

LWE判定問題  上述LWE問題是一個LWE搜索問題，密碼學中更感興趣的是LWE問題的另外一個版本：平均情況下的LWE判定問題。即對于隨機均勻選擇的s∈，能夠以不可忽略的概率區分分布與均勻分布上的實例。判定LWE問題可以歸約到搜索LWE問題。

如果在均勻選擇秘密向量s的情況下，判定LWE問題可以被解決，則對于所有秘密向量s，判定LWE問題都可以被解決。

LWE問題與BDD問題  上述LWE問題定義中，對于m個從取出的獨立實例，可以用隨機均勻矩陣A∈和b=AT s+e表出。所以LWE問題可以看成是隨機格上的BDD問題。

參數說明  分布是一個標準偏離是的類似高斯分布，其中，通常取為1/poly（n）。模q一般是關于n的多項式。LWE實例的數量并不重要。

LWE問題的困難性 以下三個原因說明LWE問題是困難的。第一，已知最好的求解LWE問題的算法運行時間是指數級的，即使是對量子計算機也沒有任何幫助。第二，LWE問題是LPN問題的自然擴展，而LPN問題在學習理論中被廣泛研究而且普遍認為是困難的。此外LPN問題可以形式化為隨機線性二元碼的解碼問題，如果LPN問題的求解算法有一點進步，則意味著編碼理論的一個突破。第三，也是最重要的，LWE問題被歸約到最壞情況下的格上標準困難問題，例如GapSVP和SIVP[11,85]。

Regev在2005年證明了只要，那么在平均情況下解決LWE問題，其困難性至少與使用量子算法近似格上標準困難問題相同，其中近似因子是。隨后Peikert在2009年給出了一個相同近似因子的經典約減而非量子約減，但是需要滿足q≥2n/2。最近Brakerski等人在2013年給出了在q為多項式的情況下的一個經典LWE問題的約減，但是在維數上有所損失[120]。

在LWE問題中，s可以隨機均勻的取自于。這一方面使得的長度可以更短，另外一方面其困難性不變。

假設根據高斯分布選擇的錯誤向量長度的界是B，則有B≤，得到，從而。該式反映了近似因子與q/B的大小有關，而q/B又與全同態加密方案的計算深度有關，所以當維數n和B固定的情況下，模q越大，全同態加密方案的安全性越低，而全同態加密方案的同態計算能力越高。

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