硬核：深入分析 TWAMM 做市商的數學原理_AMM

從數學角度論證和解釋 Uniswap 創始人與 Paradigm 研究團隊設計的全新做市模型 TWAMM 的工作原理。

最近，Paradigm 研究合伙人 Dave White、Dan Robinson 與 Uniswap 創始人 Hayden Adams 一起合作設計了一個全新的做市模型「時間加權做市商 TWAMM」（The Time-Weighted Average Market Maker）。根據其發表文章介紹，TWAMM 可以在以太坊上有效地交易大額訂單，工作原理是將長期大額訂單分解為無限多個無限小的虛擬訂單，在一定時間內使用嵌入式 AMM 平滑地執行這些交易。

關于 TWAMM 的虛擬交易所涉及的數學，Dave White 在文中并沒有多費筆墨，只在最后給出了非常簡單的數學結論，這對于理解 TWAMM 的數學原理非常不利。本文將重點對 TWAMM 的數學原理進行嚴格的論證和解釋，至于 TWAMM 模型詳細的設計原理，可以前往 Paradiagm 官網查看，本文不再做詳述。

Matic或向投資者提供以單價0.7美元將已鎖定Token贖回為現金的選擇權:6月11日消息，Twitter用戶@0xSisyphus發文稱，Matic向許多投資者提供了一種選擇權，即當Token價格跌破該水平線時以單價0.7美元將投資者已鎖定的Token贖回為現金。0xSisyphus同時詢問該機制的工作原理。隨后DeFi播客MarketCapping主持人@SmallCapScience回復推文并釋出相關條款：

最小購買頭寸5萬美元，最大20萬美元。根據條款和條件，在公司收到購買者簽名頁后向購買者交付Token數量和總購買價格，具體為：50%的Token在生效日期后12個月解鎖；25%的Token在生效日期后18個月解鎖；25%的Token在生效日期后24個月解鎖。所有Token將在條款生效日期后的24個月內交付給買方。即買方可以以14天的加權平均價格購買MATIC，授予期2年，解鎖期1年。在交易中，買方有Token下跌保護。如果一年后Token價格下降，買方可以選擇取回現金。[2023/6/11 21:29:04]

假設 TWAMM 執行大額虛擬交易需要 N 個區塊，出售 X 的池子以每區塊 xrate 的速率出售，而出售 Y 的池子以每個區塊 yrate 的速率出售。因此，在整個期間售出的 X 總量為 xin=Nxrate，售出的 Y 總量為 yin=Nyrate。

The Sandbox將于今日晚間啟動Mega City 3土地銷售:4月26日消息，據官方博客，元宇宙項目The Sandbox將于北京時間今日23:00啟動Mega City 3土地銷售，本次土地銷售的合作伙伴均是來自中國的品牌或實體，包括香港科技大學、Nouns、Softstar等。參與者錢包中至少需要持有1011枚SAND代幣。

用戶可在北京時間4月26日23:00至5月10日11:00進行抽獎注冊，5月11日19:00將公布抽獎結果。Mega City 3土地銷售和第一次拍賣將于5月11日20:00至5月15日20:00進行，第二次拍賣時間則為5月15日23:00至5月17日23:00。[2023/4/26 14:28:18]

同時，我們將此時間段嵌入 AMM 的初始儲備 xreserve 和 yreserve 分別表示為 x0=xammStart 以及 y0=yammStart。

美聯儲2月加息25個基點的概率為98.6%:金色財經報道，據CME美聯儲觀察，美聯儲2月加息25個基點至4.50%-4.75%區間的概率為98.6%，加息50個基點的概率為1.4%。到3月累計加息25個基點的概率為11.3%，累計加息50個基點的概率為87.5%，累計加息75個基點的概率為1.3%。[2023/1/24 11:27:44]

按照 TWAMM 的設計，大額訂單是隨著區塊進行交易的，每個區塊出售 xrate 得到 yout，或者出售 xrate 得到 yout，同時 AMM 會更新 xreserve 和 yreserve 的值，整個過程總共交易 N 次。

值得注意的是，AMM 的每個區塊交易總是遵循恒定乘積做市。

美聯儲卡什卡利：對央行數字貨幣必要性的懷疑態度已變得強硬起來:10月7日消息，美聯儲卡什卡利表示，盡管仍持開放態度，但我對央行數字貨幣必要性的懷疑態度已變得強硬起來。[2022/10/7 18:41:18]

首先，在執行第 n-1 區塊的交易后，我們假設此時 AMM 的 xreserve 和 yreserve 值分別為 xn-1 和 yn-1。

接下來執行第 n 區塊的交易，X-Pool 和 Y-Pool 分別向 AMM 輸入 xrate 和 yrate，命：

因為 xrate 和 yrate 非常微小，且區塊的交易 AMM 遵循恒定乘積做市商，我們可以得到，

趙長鵬：質押存在風險:金色財經消息，幣安創始人趙長鵬發推表示，Staking(質押)存在風險。

此前金色財經報道，BNB Chain 推出流動性質押功能，引入Ankr、Stader和pStake三種流動性質押協議。[2022/8/31 13:00:22]

化簡，

在得到 xout,n 和 yout,n 的值后，我們進一步可以獲得 n 區塊的交易后 AMM 的 xreserve 和 yreserve 值 xn 和 yn，

通過觀察，我們發現 xn*yn=xn-1*yn-1，這正好符合 AMM 的循恒定乘積做市的前提要求。

令， xn*yn=xn-1*yn-1=...= x1*y1=x0*y0=k，這是一個常數。

先對 xn 求得一般公式，并獲得 xammEnd=xN 的值，yn 同理。

yn 的分式線性遞歸表達式如下：

首先，若 yin 等于 0，xin 不等于 0，則

計算得到，

而，

xin 等于 0，yin 不等于 0 時，討論同上。

若 xin 和 yin 都不等于 0，對于一般的分式線性遞歸，我們可以采用不動點的方法求解。

進一步計算，

TWAMM 的基本假設是將長期大額訂單分解為無限多個無限小的虛擬訂單，也即是 N 可以取無窮大，這時候可以獲得 xN 的極限值。

其中，

相似的，

最后，經過簡單的驗證 xammEnd*yammEnd=xammStart*yammStart=k, 依然滿足 AMM 的恒定乘積。

至此，我們完成了 TWAMM 的數學原理嚴格的論證和解釋，并得到了與 「時間加權做市商 TWAMM」 一文完全相同的結論。

撰文：luffy

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