數字貨幣期貨合約的相關性測度_OPUL

派客國際投資有限公司蘇文杰

摘要：本文以BitMEX交易所的數字貨幣期貨合約的收盤價數據為基礎，計算了永續合約XBTUSD和ETHUSD的收盤價的各相關系數，并利用Copula函數著重對兩者的肯德爾和斯皮爾曼秩相關系數進行了估計。由Copula函數導出的秩相關系數有許多優點，比線性相關性更具優勢，這為構建量化交易策略提供了可靠的依據。

各數字貨幣價格的相關關系是許多量化交易策略設計的基礎。相關關系的計算大多使用收益率數據或收盤價數據，本文將以BitMEX交易所的永續合約XBTUSD和ETHUSD的收盤價數據為基礎進行一些討論。

一、相關系數

相關系數簡介

統計學中主要有三種相關系數，分別是皮爾遜(Pearson)相關系數，肯德爾(Kendall)秩相關系數和斯皮爾曼(Spearman)秩相關系數。

1、皮爾遜(Pearson)相關系數

2、肯德爾(Kendall)秩相關系數

3、斯皮爾曼(Spearman)秩相關系數

采用皮爾遜相關系數來考察永續合約XBTUSD和ETHUSD的相關程度

火幣研究院高級分析師：零售型央行數字貨幣面臨普遍問題:火幣研究院高級分析師查爾斯表示，他認為當前零售型央行數字貨幣面臨一些普遍問題。數字貨幣應用方面還是在場景搭建方面，目前數字貨幣在滲透到零售場景進行推廣，如何充分結合利用現有用戶資源、線上線下收單體系和場景轉化能力等。還有要注意金融底層問題，需要解決和處理的主要問題包括如何區別現有貨幣體系去創造新的增量市場而不是干擾或者替代現有貨幣體系市場，央行數字貨幣不和商業銀行業務沖突，法定數字貨幣能否比現有貨幣信用體系更好地利于國民經濟的發展，這些問題的解決依托數字貨幣的基礎設施、發行機制和運行架構的建立，是系統性工程，這都是需要解決的問題。（經濟參考報）[2021/2/5 18:56:01]

1、基于周期為1分鐘的收盤價

以下用UTC時間2019年5月5日上午6：39所獲取的最近的750個BitMEX交易所的每分鐘收盤價來計算永續合約XBTUSD和ETHUSD的皮爾遜相關系數，其散點圖如下圖所示：

圖1

在圖1中，可見XBTUSD和ETHUSD永續合約的收盤價具有較強的正相關關系，其相關系數的值為0.877.

2、基于各周期的收盤價

動態 | 上海在迪拜建設的區塊鏈園區或能創建數字貨幣和官方區塊鏈錢包:上海阿特拉斯資本日前宣布將在迪拜建設15000多平方米的區塊鏈園區。預計園區將吸引一批采用區塊鏈最新技術的企業并為之提供協作空間及符合全球標準的專業技能。據2020年迪拜世博局高級副總裁透露，園區將來有機會創建數字貨幣和官方區塊鏈錢包。[2019/12/5]

對于各周期的收盤價而計算的各皮爾遜相關系數如下表所示。由此表可知，XBTUSD和ETHUSD永續合約的收盤價在不同周期中均具有較強的正相關關系。

鑒于我們的量化策略沒有在低頻領域中實施，故比較關心的是基于分鐘級別的收盤價所展現出來的相關關系。

采用肯德爾秩相關系數和斯皮爾曼秩相關系數

同樣在UTC時間2019年5月5日上午6：39，根據最近的750個每分鐘收盤價計算出永續合約XBTUSD和ETHUSD的肯德爾秩相關系數為0.6199，斯皮爾曼秩相關系數為0.7788。

二、基于Copula函數的相關性測度

Copula函數簡介

Copula理論和方法的應用已經在國內金融、保險等領域廣泛展開，使得刻畫更為復雜的多變量聯合分布成為可能。

動態 | 美國國稅局召開全球稅務執行聯合首長會議，以打擊數字貨幣帶來的避稅行為:據BeInCrypto今日報道，美國國稅局（IRS）表示，從國稅局海外合作伙伴那里收集到的新信息使它能夠追蹤到有關加密貨幣逃稅的嫌疑人。據報道，來自美國，英國，澳大利亞，加拿大和荷蘭的稅務機關代表最近齊聚一堂，聯合召開全球稅務執行聯合首長會議，會議上美國收集到的擴展數據可以對犯罪資金流進行更嚴格的審查，這次會議是也是IRS采取新措施的一部分，以打擊數字貨幣帶來的避稅行為。[2019/11/10]

Copula函數的分類-

EricZivot和JiahuiWang(2006)認為金融相關性分析中常用的Copula函數主要有四大類：橢圓Copulas、阿基米德Copulas、極值Copulas。

其中橢圓和阿基米德Copulas是按Copula函數所屬性質進行劃分。橢圓Copula可以由橢圓分布得到，很容易從二元情形推廣到多元情形。各個阿基米德族Copula可以由相應的生成元函數得到，并且當生成元函數滿足一定條件時，可以得到多元阿基米德Copula。極值Copula函數根據相依函數的產生不同而不同。

下文僅簡要介紹橢圓Copula函數族和阿基米德Copula函數族。

行情 | 數字貨幣行情播報:根據Huobi交易平臺數據顯示，BTC最新成交價格 10844.74 美元，最高價達 10868.21 美元，最低價格 10356 美元，成交量 2.52 萬，漲幅 1.01 %；ETH最新成交價格 221.93 美元，最高價達 224.59 美元，最低價格 214.78 美元，成交量 28.15 萬，漲幅 0.81 %；EOS最新成交價格 4.2918 美元，最高價達 4.3648 美元，最低價格 4.0888 美元，成交量 1,176.20 萬，漲幅 0.77 %。[2019/8/4]

1、橢圓Copulas函數族

橢圓Copulas函數可以由橢圓分布得到，且秉承了橢圓分布函數的優良性質，因而是研究金融市場相依結構的基本模型。橢圓Copulas函數的兩個主要成員是正態Copula函數和t-Copula函數。

橢圓Copulas函數的優點是可以構造不同相依程度的邊緣分布的Copula函數，由于其分布性質簡單，且模擬較易實現，廣泛應用于金融領域。其缺點是其分布函數沒有封閉的表達形式且都是徑向對稱的，由于存在對稱的尾部相關性，故無法捕捉到金融市場之間非對稱的相關關系。

行情 | 數字貨幣行情播報:根據Bitfinex交易平臺數據顯示，BTC最新成交價格 7,381.60 美元，最高價達 7,415.40 美元，最低價格 7,286.70 美元，成交量 2.05 萬，漲幅 0.06 %；ETH最新成交價格 284.61 美元，最高價達 293.04 美元，最低價格 282.20 美元，成交量 14.07 萬，跌幅 1.68 %；EOS最新成交價格 6.53 美元，最高價達 6.69 美元，最低價格 6.42 美元，成交量 543.00 萬，跌幅 0.93 %。[2018/9/5]

它們在中心區域的差別并不大，差別主要體現在其尾部的厚度。

通常情況下，正態Copula函數可以較好地擬合數據。在其分布的尾部，任意兩個隨機變量是漸近獨立的，而當極值事件發生時，金融市場間尾部相關性往往都會增強，此時如果用正態Copula函數進行投資組合的相關計算常常會低估風險。

相比于正態Copula函數，t-Copula函數能捕捉到序列間的尾部相關性，對極端情形的描述能力更強。t-Copula函數的自由度參數越大，其尾部越薄，當其自由度超過30時，其尾部相依形狀非常接近于正態Copula函數。

2、阿基米德Copulas函數族。

阿基米德Copulas函數族是非常重要的一類Copula函數，其較橢圓Copula函數的便利之處在于可將多元變量之間復雜的相依結構轉換為一個相對簡單的生成函數，或稱為阿基米德Copulas函數的生成元，它源于一個母函數，可將復雜的多維問題轉換為一個一維問題，從而有利于對實際問題的求解和估計。

基于Copula函數的相關性測度

經典的金融分析模型對金融相關性的研究只集中在相關程度的分析上，如建立在正態性或橢圓型的皮爾遜線性相關系數。但它只能描述變量間線性的相關程度，而無法刻畫非線性的相關模式。大量的研究表明僅用相關程度來描述隨機變量間的相關關系是不全面的。而由Copula函數導出的秩相關系數可以對聯合分布的歷史數據進行標準化排序，同時又無需考慮邊緣分布，因而比線性相關性更具優勢，應用性也更廣泛。另外，秩相關性還具有在非線性單調變換下保持不變的性質。采用非參數方法時，肯德爾秩相關系數、斯皮爾曼秩相關系數等還與Copula函數中的參數有一一對應關系，因而更有利于Copula函數的參數估計。在金融風險分析中至關重要的是尾部相關性分析，常用來刻畫當極端情形發生時金融市場間的相關程度，基于Copula函數的相關性度量將邊際分布中包含的相關程度和相關模式的研究結合在一起，可以從程度和模式上把握金融領域中的相關性問題。

在UTC時間2019年5月5日上午6：39，根據最近的750個每分鐘收盤價，仿照文獻的方法，利用MATLABR2019a進行相關計算如下。

1、參數的估計

用核分布估計XBTUSD和ETHUSD收盤價的邊緣分布后，若采用二元正態Copula函數，利用Matlab的Copula相關內置函數，可估計出其中的線性相關系數為0.8368；若采用二元t-Copula函數，可估計出其中的線性相關系數為0.8031，自由度約為1.65。

這里計算線性相關系數和自由度，只是為了得到對應的Copula函數的具體形式，故可得出這里的二元正態Copula函數的分布函數為

二元t-Copula函數的分布函數為

2、繪制此二元正態Copula函數和二元t-Copula函數的密度函數和分布函數圖

繪圖如下：

圖2

圖3

圖4

圖5

根據圖2和圖4可知，與二元正態Copula函數相比，二元t-Copula函數具有更厚的尾部，因此對變量間尾部相關的變化更為敏感，能夠更好地捕捉金融市場間的尾部相關性。

3、秩相關系數的估計

上文估計出了Copula函數中的參數，故能夠調用Copula的相關程序內置函數來估計XBTUSD和ETHUSD每分鐘收盤價的肯德爾和斯皮爾曼秩相關系數，并將結果與上文由原始觀測數據直接計算出的結果進行對比。現列表如下：

表2

由上表可知，按二元t-Copula函數所估計出的肯德爾和斯皮爾曼秩相關系數與按原始觀測數據的計算結果更為接近，這說明了線性相關參數為0.8031，自由度約為1.65的二元t-Copula函數較好地反映了XBTUSD和ETHUSD每分鐘收盤價之間的秩相關性。

三、結論與討論

本文以BitMEX交易所的數字貨幣期貨合約的收盤價數據為基礎，計算了永續合約XBTUSD和ETHUSD的收盤價的各相關系數，并利用Copula函數著重對兩者的肯德爾和斯皮爾曼秩相關系數進行了估計。結果表明，二元t-Copula函數較好地反映了這兩個合約每分鐘收盤價之間的秩相關性。

Copula函數具有許多優良的性質，仿照上文的方法，還能夠利用Copula函數來估計其他合約和XBTUSD永續合約的秩相關系數，為構建量化交易策略提供可靠的依據。

導師評語：

時至今日，數字貨幣領域已從單一的強波動性的比特幣時代步入了指數時代。如何在指數時代中進行卓有成效的資產管理？對相關性的討論無疑是極其重要的內容之一。本文對此做了一些基礎性的工作，富有啟發意義。

參考文獻

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董耀武.基于copula理論與EVT-SV模型的金融市場VaR測度研究.重慶大學博士學位論文,2011.62

趙婷.Copula理論及其在金融分析上的應用.湖南大學碩士學位論文,2011.6

李強.基于Copula理論和GPD模型的金融市場風險測度研究.重慶大學博士學位論文,2012.75-78

謝中華.MATLAB統計分析與應用：40個案例分析.第二版.北京：北京航空航天大學出版社,2015.236-240

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