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雙向復利神奇_馬斯克

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Time:1900/1/1 0:00:00

我的目的不是為了幫大家溫習數學,而是探索以下重要且有趣的話題:

1、聰明的試錯,是一個逆向復利的過程,它可以幫助我們以指數增長的速度,逆向逼近正確答案;

2、絕大多數成就的取得,都是通過復利效應實現的。但是,復利很難。本文我將講述復利的雙向測試,為靠譜的復利搭建一個可計算的腳手架;

3、兩頭求極限,才是馬斯克的“第一性原理”中最重要但卻被忽略的部分。

4、凱利公式給出了一個最大收益與下注比例之間的數學關系。該公式是在基于概率的復利公式的基礎上,通過取對數然后求導得出的;

5、既然說到了對數,自然要說一下神奇的自然對數e,以及自然增長的極限。

以可感知的方式來重溫對數,能幫助我們從底層理解這個世界的算法。

log10(10)

《魷魚游戲》中的第五關,是“跳玻璃橋”。

有16位選手按照順序過一條玻璃橋。玻璃橋由18節構成,每節有左右兩塊玻璃,一邊是普通玻璃,一邊是強化玻璃。

游戲規則是:參賽者必須正確分辨出普通玻璃和強化玻璃,若踩到普通玻璃就會當場摔死,一路踩到強化玻璃才能過關。

二選一,即使靠蒙,勝率也高達50%。

然而,雖然每一節的變化只有2,兩節的變化也就是22,連續18節的變化是2的18次方,卻高達262144種。

這是一個指數級的增長。

要想連續18次都蒙對,成功的概率是分之一,也就是約為30萬分之一,約為死于從樓梯上摔下來概率的二分之一。

然而,在《魷魚游戲》里,最終有三個人過關,除了靠玻璃廠師傅肉眼辨別出來的較少環節,主要都是以人命為代價蒙出來的。

理論上,如果人們不自相殘殺,即使是靠蒙,活下來的人也應該多于三人。

為什么一個成功率只有近三十萬分之一的游戲,僅僅靠十幾個人就能打通關呢?

因為這是18個串聯在一起的二選一,18個人用命去蒙,相當于一個逆向的指數效應,可以用非常有限的測試,來找到262144種可能性中唯一正確的可能性。

我稱之為:逆向復利。

如各位聰明讀者都知道但可能早已忘記的數學,玻璃橋游戲的巨大不確定性是來自指數增長,而消除不確定性則是靠指數函數的反函數:

對數函數。

log10(100)

先來玩兒一個簡單游戲:

已知有兩個抽屜,各有一黑一白兩個盒子,一共四個。其中一個盒子里有顆大鉆石,猜中了就歸你。你可以問任意問題,主持人必須回答,但只能說“是”或者“不是”。請問你最少要問幾次?

也許你在宿舍生活時,玩兒過類似的游戲:通過不斷問問題,獲得“是或不是”的反饋,然后一步步解出謎題。

答案是你需要問兩次:

第一次:是在左邊的抽屜里嗎?

第二次:是在黑色的盒子里嗎?

這是一個簡化版的“過玻璃橋”游戲。

有算法的瞎蒙,有時候并不蒙瞎。

近300年前,牧師貝葉斯設計了一個思想實驗:

他背對一張桌子坐著,桌子上有個白球,他并不知道白球的位置。

然后,他讓助手隨機往桌面上扔黑球,黑球落在桌子上的位置完全是不確定的;

接下來,每放完一個,他就問助手白球相對于黑球的方位。比如,助手說白球在黑球的右邊,他就猜也許白球在靠右一點兒的位置;

然后,助手又隨手扔了一個黑球,并且告訴他這個白球是在黑球的左邊。于是他更新了猜想,可能白球并沒有那么靠右;

波卡周報:Aventus贏得Polkadot第26次插槽拍賣;Phala到以太坊的雙向轉賬已上線:9月11日消息,根據PolkaWorld發布的波卡周報,重要消息如下:

-Aventus贏得Polkadot第26次插槽Auction。

-Polkadot第27次插槽Auction將在9月11日凌晨4:12啟動,目前活躍的Crowdloan還有Crust和OmniBTC。

-Polkadot 72號公投已經通過并執行,該議案將Polkadot runtime升級到v9270。

-Polkadot 73號公投正在投票中,該議案提議將Statemint runtime升級到v9270。

-Polkadot國庫資助的Unbounded已經上線。

-Snow Network贏得Kusama第51次插槽Auction。

-Kusama理事會投票通過Motion542,該議案旨在為Bounty#3提供超出成本的資金。這個賞金任務是由Litentry提出,旨在提供一個簽名解決方案,以使用Beacon Network連接DApp和移動錢包。賞金包括Beacon SDK與基于Substrate的網絡的集成以及iOS和Android錢包的集成。總體而言,賞金由Beacon團隊、Fearless Wallet團隊和Nova Wallet已經在2022年6月完成。

-Phala完成3800萬PHA從以太坊到Phala智能合約橋Subbridge的遷移。

-從Phala到以太坊的雙向轉賬現已正式上線。

-Parity的核心開發者將于12月12日在柏林參加Berlin Blockchain Week柏林區塊鏈周,屆時將分享有關Polkadot和Substrate的最新消息,還將在Parity柏林的辦公室舉辦HackerDay和如何創建Unstoppable應用程序的workshop。[2022/9/11 13:23:12]

就這樣,扔的黑球越多,他就越能逼近白球真正的位置。

這個“無聊”的游戲靠譜嗎?

該實驗中,僅用模糊的相對關系,就能逐步推斷出結果。關于這一點,我會另外在一篇《逆風而行》的文章中再談及。

事實上,貝葉斯的這個思想實驗,是對休謨的因果懷疑論的反擊。結果,產生了一種“由果推因”的逆概率計算,迄今仍在深刻改變這個世界。

也許你會覺得,這種瞎猜,要猜到什么時候?

和過玻璃橋一樣,貝葉斯的計算,也有一種逆向的指數效應,能夠快速逼近白球的真正位置。

log10(1000)

在過玻璃橋游戲里,每一節的變化是2,連續18節的變化,就是2的18次方,這是一個指數運算。

計算結果,是262144種變化。

那么,如果我們只知道一共有262144種變化,但不知道玻璃橋有多少節,該如何計算呢?

這就是指數運算的逆運算:對數運算。

如果a的x次方等于N,那么數x叫做以a為底N的對數,記作x=logaN。其中,a叫做對數的底數,N叫做真數。

對數的意思是:用幾個數與自己乘在一起會得到另一個數?

例如2的三次方是8。那么反過來,多少個2相乘可以得到8?

通過對數運算可知,log2(8)=3。

在過玻璃橋的游戲里,2的18次方等于262144,那么:log2(262144)=18。

指數運算,能夠迅速將一個數字變得非常大;

Solana Pay上線交易請求功能,可實現商家和消費者之間的雙向交互:5月5日消息,Solana 發推稱其支付協議 Solana Pay 現已上線交易請求功能,可實現商家和消費者之間的雙向交互,目前可以通過結賬應用和移動錢包之間的交互請求將任何 Solana 交易帶入現實世界,從而實現 NFT 鑄造、動態折扣、代幣化忠誠度計劃等。

此前消息,2 月份,Solana Labs 宣布推出 Solana Pay 支付協議,使得商家可以直接從消費者處接受加密支付,目前支持穩定幣 USDC、Solana 的原生代幣 SOL 以及其他基于 Solana的代幣。[2022/5/5 2:51:36]

對數運算,能夠迅速將一個數字變得非常小。

二者放在一起,是一種雙向的“復利效應”。

log10(10000)

關于不怕失敗,主動試錯,已經是老生常談。

《霍亂時期的愛情》里寫道:

“趁年輕,好好利用這個機會,盡力去嘗遍所有痛苦,這種事可不是一輩子什么時候都會遇到的。”

為什么要趁年輕犯錯呢?什么是聰明的犯錯呢?

記得有位科學家說過:所謂專家,就是在一個極小的范圍內犯過了所有的錯誤。

以下圖為例:

你要找尋圖形中藏寶的小方塊,即使你只能像過玻璃橋那樣去試,一次猜一半,你也會以非常快的速度逼近寶藏。

但是,要有以下前提:

1、有邊界。即使逆向的指數效應很強大,但也很難解決沒有邊界的問題;

2、有算法。例如過玻璃橋看似殘酷,但其實是由一連串二選一的問題組成,數學上可以計算,能夠不斷逼近答案;

3、有反饋。猜對玻璃,活命;猜錯玻璃,死掉。但是對于整個系統而言,假如只是一個游戲,其實猜對或者猜錯,就信息的傳遞而言,是等價的;

4、能遍歷。參與游戲的人不僅要犯掉所有的錯誤,還要能夠在犯錯之后活下來。對創業者而言就是在錢花光之前快速犯錯然后找到活路。

可口可樂公司的CEO詹姆斯.昆西說:“如果我們不犯錯,那就表明我們工作上都不夠努力。”

奈飛的哈斯廷斯認為:“我們必須要冒更多的風險……去嘗試更瘋狂的事情……。”

貝佐斯將極可能是錯誤的“大膽押注”視為實驗品:

“既然它們是一次實驗,那么你肯定就不能提前知道它們會產生怎樣的作用。畢竟實驗究其本身來講就是一件容易失敗的事兒。但只要有幾個巨大的成功就能彌補你所經歷的無數次的失敗。”

然而,所謂“失敗是成功之母”,在我們這個演化的世界里,對絕大多數人而言并不成立。

即使你勇于失敗,不斷探索,假如你的犯錯不夠聰明,不夠隨機,運氣不夠好,成功照樣不會來臨。

聰明而主動的犯錯,需要有邊界、有算法、有反饋、能遍歷,也需要一些瘋狂、隨機和冗余。

哈耶克說:

雖然進化經常被總結成“適者生存”,但推動進化進程的卻往往是不適者。盡管我們總是本能地以為復雜問題需要精心設計的解決方法,但進化卻毫無規劃可言。復雜得驚人的事物是在簡單的過程中涌現出來的:嘗試已有事物的不同版本,剔除失敗,復制成功經驗。

所以,成功學最大的問題是,忽略了那些事后不再發聲的失敗要素,簡化了因果,甚至顛倒了因果,并且認為成功可以被設計,被簡單復制。

log10(100000)

Bifrost已支持Kusama網絡中USDT的雙向跨鏈:4月15日消息,Tether在4月13日宣布USDT首次上線Kusama網絡的資產平行鏈Statemine。據悉,此前Bifrost網絡已開通與Statemine的雙向跨鏈通道,很快將允許用戶在Bifrost dapp中跨鏈轉入/轉出USDT,后續可使用Zenlink DEX完成USDT相關交易以及流動性挖礦。[2022/4/15 14:27:36]

對于人們熱衷于探尋模式和設計因果,哈耶克批評道:

人們總以為自己能設計出這樣或那樣的東西,但實際上,他們對要設計的東西幾乎一無所知,經濟學的獨特職責就是展示人們的這種無知。

哈耶克的這句話,尤其適合應用于教育領域。

教育的目的和意義到底是什么?

以前是為了培養技能,可以上生產線紡紗造車。現在早變了,漫長的求學生涯,是人類社會的一種冗余機制。

對一個孩子而言,在被保護的童年與青少年期間,低成本地去犯人生當中所有可能的錯誤,也許是最有價值的。

所以,如哈耶克所言,教育應該允許孩子通過犯錯,暴露出自己的無知,自己的愚蠢。

可事實呢?犯錯、無知,是學校里最無法容忍的。

于是,可笑的事情出現了:一個人經歷了十幾年的教育,不斷追求如何將這輩子幾乎都不會再用上的知識做到“不出錯”,不斷地將那些嚴絲合縫的因果關系背得爛熟,最寶貴的個性因為無法顯現而被磨滅,無價的多樣性被統一的生產線加工成一個模子。

可是,我們眼前復雜的現實世界,越來越像休謨在幾百年前所說的:

“我們無從得知因果之間的關系,只能得知某些事物總是會關聯在一起。”

產生于工業革命年代的傳統教育,早已無法應對非線性的、不確定的當下。

如果傳授確定性知識的教育只是成為一個智力測試系統,以摧毀人才的方式來選拔人才,那么這一代價對社會、對個體而言都太昂貴了。

某女子學校創建了一個名為“失敗”的項目。負責人雷切爾·西蒙斯說了一句非常貝葉斯主義的話:

“我們想要告訴大家的是,失敗并不是學習過程中犯的錯誤,而是學習過程中的特征。”

教育教會我們學習和思考,更是教會我們如何挖掘自己獨一無二的寶藏。

大自然實現了某種有算法的隨機性,學校也應該如此。

所謂因材施教,不是定制名表,定制名包,而是提供一個有算法的系統,并且通過模擬真實的現實世界,讓孩子自由探索,大膽犯錯,無所顧忌地暴露自己的無知,呈現自己的天性,從而發現自己的稟賦,點燃愿意終其一生去努力的理想。

接下來,我要通過可逆的指數和對數運算,講到復利的雙向測試。

log10(1000000)

“奇怪”的是,對數的發明先于現代指數。原因是對數當時在航海與天文學領域太實用了。

對數可以將高級運算降為次級運算,例如化乘方開方為乘除,化乘除為加減,從而極大降低了運算量。

指數和對數互為“反函數”,二者之間是可逆的關系。

先看從指數到對數:

我們把k輸入到上面的運算器,經過指數運算,得到a的k次方,再代入對數運算,又輸出了k。

再倒過來,看從對數到指數,一樣是輸入K,輸出k。

MXC抹茶現已上線TWT與TWT1雙向兌換功能:據官方公告,MXC抹茶現已上線TWT與TWT1雙向兌換功能,支持TWT:TWT1 = 1:1雙向兌換。用戶可登錄官方網站首頁點“資產”,選擇“我的資產”,搜索“TWT“或“TWT1“,點擊“兌換”即可。

資料顯示,TWT為Trust Wallet在幣安鏈上的數字資產,TWT1為Trust Wallet在幣安智能鏈(BSC)上的數字資產。[2020/12/23 16:17:52]

如上運算器,我們可以從左邊輸入,右邊輸出;也可以從右邊輸入,左邊輸出。

就像貝葉斯提出的逆概率,從而實現了可以“由果推因”,如上的雙向運算,既是由因推果,又是由果推因。

這種方法,可以幫助我們檢驗自己的信念。

例如,假如你看到:

某人非常聰明并且努力,所以在房地產行業賺到了很多錢。

你就可以做一個雙向測試:

從“非常聰明并且努力”,可以推出“在房地產行業賺到很多錢”嗎?

從“在房地產行業賺到很多錢”,可以推出“非常聰明并且努力”嗎?

如果不能,我們可能需要重新定義自己的那個信念。

以下我要講的,絕非用公式包裝成功學,而是分享一個有趣的“感知”。

我相信,如果你懂得創業,又懂指數和對數,一定能對如下內容會心一笑。

先定義一下,世俗意義上的成功,大多是通過大規模復制實現的。

企業復制產品,個人復制IP,基因復制生命。

成功的復制,就是將某樣有價值的事物重復足夠多次,從而實現復利。

越厲害的復制,越是有指數效應,并且邊際成本遞減,還能形成網絡效應。

那么,復制什么呢?

在指數運算里,復制的是底數。例如,2的18次方是262144,其中底數是2,指數是18。

回到創業。

眾所周知的精益創業,其核心思想是,先在市場中投入一個極簡的原型產品,然后通過不斷的學習和有價值的用戶反饋,對產品進行快速迭代優化,以期適應市場。

精益創業的三個主要工具是:“最小可用品”、“客戶反饋”、“快速迭代”。

在大規模復制之前,創業者必須以最小的成本和有效的方式驗證產品是否符合用戶需求,在最短時間里找到有價值的認知。

快速地去蒙,聰明地去試錯,就像貝葉斯身后亂扔的球,以及過玻璃橋的大膽一躍。

這個有價值的認知,就是指數運算和對數運算中的底數。

創業的第一階段,從0到0.1或者從0到1,像是一個對數運算;

在經過驗證和迭代后,再實現爆發式增長。像是一個指數運算。

阿里云總裁認為技術只有兩個核心價值:

第一、對于驗證成功或接近成熟的業務,快速規模化,實現指數增長。

比如從1-10用了10天,那你從10-100應該只用兩天或一天。

第二、要幫業務團隊快速試錯。

讓產品快速上線,別在乎什么架構,有反饋才知道這個業務行不行,能不能活下來。

所以,創業的過程,交織著對數運算和指數運算。我們需要從兩頭分別輸入數字,往返測試,以求發現內核,然后進行大規模復制。

一頭計算作為復制內核的底數,一頭計算指數增長的規模。

我在《人生算法》里,將此拓展到個人的演化:

上半場,是一個切割鉆石的過程,目的就是為了不斷找到真正屬于你自己的最小的那個內核。

動態 | 一技術公司在馬耳他安裝了首部比特幣雙向ATM機:據CCN消息,技術公司MoonZebra在馬耳他安裝了首部比特幣雙向ATM機。用戶能在該ATM機存入法幣并輸入公鑰,為某個地址存入比特幣,也能將數字貨幣轉換為法幣。[2018/7/15]

下半場,就是如何通過復制,令最小的內核最大化。

為什么要用“最小內核”來做指數運算的底數?

復利增長的關鍵是復制的連續性和穩定性,物理意義上去掉多余的部位,信息意義上去除噪音,能夠令最小內核的復制更可持續。

這個過程,總是伴隨著打破和重建。新晉導演章子怡認為,導演就是一個“打破瓶子”的過程:“你得把瓶子打碎了,鉆出來透口氣,再鉆進另一個瓶子里。”

尼采錯了,并非“那些殺不死你的,終將使你變得更強大”,而是你的強大需要通過殺死“不夠強大”而呈現出來。

正如演化算法的三部曲:變異,選擇,復制。

變異是某個認知,這個認知以某個最小化產品的形式被放在具體環境里,通過與環境的雙向選擇而不斷迭代,一旦其生存模式被驗證,就大規模復制。

一個人,或者一個機構,其成功的最大秘密是:找到可大規模復制的“大概率事件“。

log10(10000000)

事實上,馬斯克總是提及的第一性原理,也包含了類似的雙向推導。

先前,人們對“第一性原理”的理解主要是:

把一些事情歸結為最基本的原則,尤其是物理定律,少一點兒類比,少一點兒夾層解釋。

但其實不止于此。

馬斯克說,另一個方法是:

在極限中思考問題。

如果你在思考一件事情的同時,把它擴展到一個非常大的范疇或一個非常小的范疇,事情會發生什么變化?

舉個例子,不管是造電動車還是火箭,假如零件太貴,成本太高,你就可以想:

如果每年的產量是一百萬臺呢?那還貴嗎?

如果一年一百萬臺還是很貴,那么數量就不是你的東西貴的原因,根本問題出在設計上。

這樣一來必須改變設計,改變零部件,從根本解決價格問題。

這個,是從規模極限去推導。

然后,倒過來,從基本單元的極限去推導,一直到原子層面。

例如生產火箭,一直拆解到初始的資源和原料:

如果你看一下火箭的原材料,你會發現原料有鋁、鋼、鈦合金、特種合金、銅等;

每個部件的組成元素的重量是多少,原材料價值是多少?

在不改變原材料的情況下,以上幾個問題為火箭的成本設定了漸近極限。

更進一步,把原子排列成最終的形狀,這將是你產品的最低成本。

在馬斯克看來,產品的制造成本漸進式地接近其原材料價值。

所以,關于產品的第一性原理是:

嘗試想象完美產品或技術,不管它是什么。然后思考:原子怎樣才能完美地排列?進而找出如何獲得這種形狀的物品。

但是,大多數時候,人們停留在“夾層”。從觀念上固守已有的東西,傾向于使用他們熟悉的工具和方法。

馬斯克的思考方式是,通過雙向推導:

我們一方面可以去發現規模效應下的完美產品;

一方面去創造工具、方法,找尋材料,從原子層面構建基本單元。

從因到果,再從果到因,雙向推導至極限,會創造出驚人的奇跡。

log10(100000000)

在《魷魚游戲》中的第五關“跳玻璃橋”,一個人向前跳,不管他踩中了鋼化玻璃,還是不幸踩碎普通玻璃,都為團隊提供了信息。

這種信息,是通過消除不確定性來實現的。

就信息本身而言,“正確”或者“錯誤”,是等價的。不同的是,“正確”的人有機會再去踩下一關的玻璃。

那么,該如何度量信息呢?

香農引入了“比特”的概念。

比特來自二進制,香農認為可能擁有的最簡單的信源,就是拋硬幣,正或反,是或否,1或0,這是可能存在的最基本的信息。

就像信息的原子。

比特是在兩個等概率的可能性之中進行選擇后所產生的信息量。所以“一臺擁有兩種穩定狀態的設備……能夠存儲1比特信息”。

回到開始的猜鉆石游戲,你需要多少信息?

在左右抽屜里二選一,對應1比特;再在黑白盒子里二選一,對應1比特;

所以你總共需要2比特,以實現在四個盒子里選出一個。

玻璃橋游戲里,總變化高達262144種可能性,但因為這是18個串聯在一起的二選一,我們算一下需要多少信息:

也就是計算262144以2為底的對數:log2262144=18,相當于2的18次方的逆運算。

為什么計算對數?

因為:采用概率分布的對數作為信息的量度具有可加性。

由于求對數,所以有一種逆向的指數效應。其所產生的加速效應,我稱之為逆向復利。

過玻璃橋的變化雖然很多,但信息只有18比特。

那么,每跳一個人,不管是否掉下去,就獲得了1比特。

當然,如果沒掉下去,就又多了一次下一輪的測試機會。

由此,每跳一次,就獲得了一個信息,也就消除了一部分不確定性。教科書對此的描述是:

香農將熱力學的熵,引入到信息論,因此它又被稱為香農熵,或信息熵。

在信息論里面,熵是對不確定性的測量。

在信息世界,熵越高,則能傳輸越多的信息,熵越低,則意味著傳輸的信息越少。其公式如下:

其中p代表隨機事件X為xi的概率。

還是以扔硬幣為例。

扔一次硬幣,出現正面的概率是p1=0.5,出現反面的概率也是p2=0.5。

所以,根據公式計算:

H=-(0.5log2(0.5)+0.5log2(0.5))=1比特

但是,如果這枚硬幣被做了手腳,出現正面的概率是0.7,反面是0.3。那么“扔一次這個硬幣”這個事件的信息熵是多少呢?計算如下:

H=-(0.7log2(0.7)+0.3log2(0.3))=0.88比特

假如你去玩拋硬幣的游戲,而且你知道有一桌的硬幣做了手腳,正面概率是70%,那么你一定會選這一桌,并且每次都押正面,因為其信息熵更低,這意味著該“不確定性”比公平的硬幣降低了。

在《魷魚游戲》里,那位玻璃廠的老師傅,就是靠自己的專業,降低了自己每一次蒙的行為的信息熵,就像上面那個做了手腳的硬幣。

因此,他消除不確定性的“能力”更強。

log10(1000000000)

再說回復利的主題。

復利的基本公式,是一個指數運算。

復利算起來很簡單,實現很難,原因見《復利的謊言》:

真相1、世界被隨機性主宰;

真相2、連續性很難實現;

真相3、現實是不均勻的;

真相4、回報是不對稱的;

真相5、籌碼是有限的。

用復利公式來描述以上幾點就是:

1、利率r與期數n都是說不準的;

2、比較好的回報r,期數n總是不長久;

3、利率r總是起起伏伏,時好時壞;

4、現值PV大,終值FV未必大;

5、以總值論,本金太小。以比例論,本金撐不到賺錢的時刻。

那么,復利公式還有用嗎?

在充滿不確定性的現實世界,用概率來描述一個事件,是理性且智慧的。

復利公式也不例外。

確定性下的復利公式是:

但是,現實世界的回報r并不確定,那么我們用概率來描述。

舉例:若一投資有60%的獲勝率,而投資者在贏得賭局時,可獲得一賠一的賠率。為了避免爆掉,所以下注者每次會控制下注比例,假設是x,那么連續下注n次,期望值計算是:

f(x)=(1+x)^(n0.6)(1-x)^(n0.4)

如上,這其實是一個概率世界的復利公式。

首先,這里仍然有一個重要前提:期望值為正。否則就是賭博。

這時,我們會發現,下注比例x太小,賺不到錢;x太大,可能會爆掉,以致無法實現遍歷性而“享用”正期望值。

有沒有一個方法,可以控制x的數值,就像用開關控制水量一下,調節每次下注的比例,在確保不會爆倉的前提下實現收益最大化?

轉化為數學問題,就是求上面f(x)的極大值。

當年索普向香農請教期望值優勢下的下注比例問題,香農向他推薦了自己同事凱利的一個公式。

與索普自己的信息熵公式有點兒像,凱利公式是對概率世界的復利公式取對數,然后求極值。

凱利公式的目標是:最大化資產的增長率,也即最大化對數資產的期望值。

設開始時的資產是1,每次下注的比例為f,有p的概率會以b的賠率贏錢,資產的對數期望值計算如下:

要找到最大化這個期望值f,只需E對f的導數值為零:

求解上述方程,得出凱利公式:

用圖形,更容易看出凱利公式的工作原理:

橫坐標是下注比例,縱坐標是回報。下注小,安全但回報低;下注大,極可能回報也不高風險卻很大。

凱利公式幫助我們找到圖中的峰頂,對應的就是最佳下注比例。

人的一生,是由很多個下注串起來的。雖然不像過玻璃橋那么非死即活,但一樣充滿了巨大的不確定性。

每次做決策時,計算一下輸贏的概率,算一下回報,并且隨時提醒自己控制好下注的水龍頭,千萬別Allin。

凱利公式的工作原理圖最上方的那個點,也許是我們想在人生中找尋的位置:活下來,活好。

log10(10000000000)

如上所述,對數與復利式的增長有關。

假設我們往銀行存1個億,銀行的年息是100%,如果每年產生一次,那我們可以知道一年到頭你的賬戶總額是:

但是如果我們換成一個月產生一次利息,然后你又把每個月的利息重新存入本金,那你一年到頭的賬戶總額是:

進一步,我們換成一個天產生一次利息,然后你把每天的利息重新存入本金,那你一年到頭的賬戶總額是:

假設銀行愿意每秒付利息,你也每秒取出利息再存入,利滾利會不會漲上天呢?

并不會,你的銀行余額是2.7182817813元。

所以,1元錢存1年,在年利率100%情況下,無論怎么利滾利,其余額總有一個無法突破的天花板,這個天花板就是e≈2.71828…。

e,作為數學常數,是自然對數函數的底數,亦稱自然常數、自然底數,或是歐拉數。

在谷歌2004年的首次公開募股,集資額不是通常的整數,而是$2,718,281,828,正是來自e。其2005年的一次公開募股中,集資額是$14,159,265,與圓周率有關。

e和π,的確是兩個最神奇的數字了。

e的本質,是自然增長的極限。

e在自然界無處不在,最有名的是等角螺線,又叫對數螺線或生長螺線。

例如:

還有:

昆蟲以等角螺線的方式接近光源;

蜘蛛網的構造與等角螺線相似;

旋渦星系的旋臂差不多是等角螺線。銀河系的四大旋臂的傾斜度約為12°;

低氣壓(熱帶氣旋、溫帶氣旋等)的外觀像等角螺線。

雅各布·伯努利格外喜歡等角螺線。他發現了等角螺線經過各種適當的變換之后仍是等角螺線,并對此十分驚嘆和欣賞。

放大和縮小后的對數螺線,和原圖形相似。

還有旋轉的自相似性:旋轉后的對數螺線,和原圖形相似。

于是,雅各布·伯努利要求將等角螺線刻在自己的墓碑上,并附詞:

縱使改變,依然故我。

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