學習筆記 | 零知識證明算法之PLONK——電路_CRS

最近研究了下零知識證明算法-PLONK。肚子里的墨水又增加了，記一下學習成果與新的體會，和大家共同學習---江小白。

現狀

近些年，各種新的零知識證明算法層出不出，各有各的特點，各有各的優勢。借用V神系列文章里的一張圖來簡單呈現下當前的零知識證明算法現狀。

從圖中可以簡單總結出以下幾點：

理論上安全性最高的是STARKs算法，不依賴數學難題假設，具有抗量子性；Proof大小上最小的是SNARKs算法，如Groth16;PLONK算法在安全性上和Proof大小上，位于上述兩者之間；其他的這里不做過多闡述，如想了解零知識證明更多信息，可參考鏈接；對于SNARKs算法，繞不開的一個點就是中心化的TrustSetup，也稱之為CRS(theCommonReferenceString)。而無論是PGHR13,Groth16,還是GM17算法，它們的CRS都是一次性的，不可更新的。即，不同的問題將對應著不同的CRS，這在某些場景下，會變得比較麻煩。這些存在的問題，變成了PLONK，SONIC這類算法的一個優勢，它們算法雖然也需要中心化的可信設置，但是它的CRS具有一定的普適性。即，只要電路的大小不超過CRS的上限閾值，一些證明問題就可以共用一個CRS，這種CRS稱之為SRS(universalStructuredReferenceString)，關于SRS的定義，詳細的可參考SONIC協議里的第3小節。PLONK算法繼用了SONIC算法的SRS的思想，但是在證明的效率上，做了很大的提升。接下來，讓我們詳細的介紹下PLONK算法的具體細節，主要從下面四個小節去分享：

網易“豬廠學習雞”發布數字藏品:2月7日消息，由網易人力資源部建立的用于分享學習的公眾號“豬廠學習雞”發布限定款Uniquer系列藏品，包括限時領取的“千雞千面”的新年flag盲盒（典藏款）和限量發放的學習雞周邊藏品（vip限定）。

據悉，每款藏品每人能且僅能收藏一份，作品版權歸豬廠學習雞所有。收藏后，用戶可以永遠在網易區塊鏈上查看個人藏品信息。[2022/2/8 9:36:36]

電路的設計--描述PLONK算法的電路的描述思想；置換論證或者置換校驗--復制約束，證明電路中門之間的一致性；多項式承諾--高效的證明多項式等式的成立；PLONK協議--PLONK協議剖析；電路

PLONK算法電路的描述和SONIC算法一直，具體的過程可以參考李星大牛的分享，已經寫的比較詳細且易懂。在這個小篇幅里，我想主要分享下我自己的兩點想法：

無論是什么樣的電路描述方式，電路的滿足性問題都要歸結于2點，門的約束關系和門之間的約束關系成立；在SNARKs系列的算法里，電路的描述單元都是以電路中有效的線為基本單元，具體的原理可以參考我之前分享的文章，而在PLONK，SONIC以及HALO算法里，電路的描述單元都是以門為基本單元。這兩種電路的不同描述方式帶來了一定的思考。那就是，之前在研究SNARKs算法時，我們都已經相信一個事實，“多項式等式成立，就代表著每個門的約束成立”，然后推斷，整個電路邏輯都是成立；在這個過程中，并沒有額外的去證明門之間的一致性成立；但是在PLONK算法里，除了要證明多項式等式成立外，還要額外的用置換論證的數學方法去證明門之間的約束關系，即復制約束。為何會有這樣的區別？希望有心的讀者能一起在評論區探討這個問題？我個人理解是因為電路的描述方式的不同：

學習時報：利用區塊鏈信息傳播機制應對輿情提高政府公信力:學習時報發表《以區塊鏈技術應對重大風險事件》文章，文章表示，當前，防控疫情態勢持續向好，但是疫情防控過程中也暴露出一些問題，集中體現在決策信息汲取、歸集機制不完善。對于基層政府而言，反應時間較長，缺乏及時、準確、可溯源驗證的信息發布途徑；信息交流不暢，治理工具結構性缺乏等。針對本次疫情中的問題，區塊鏈技術基于其去中心化、不可篡改、可追溯等特性，將區塊鏈技術作為疫情管理系統中的底層技術核心架構，對于提升信息的公開透明度、提升政府公信力、高效分配社會資源等領域具有很大幫助。利用區塊鏈信息傳播機制應對輿情提高政府公信力。（學習時報）[2020/3/20]

PLONK算法里，電路描述的單元是門，它為每個門定義了自己的L,R,O，因此需要證明門之間的一致性；SNARKs算法里，電路描述的單元是線，門與門之間的值用的是同一個witness，因此不用額外證明一致性；置換論證

前面我們說過，在PLONK算法里，需要去證明門之間的約束關系成立。在做具體的原理解釋之前，我們先簡單的過一下PLONK協議的過程，如下圖所示：

聲音 | 學習時報：區塊鏈等技術快速發展，數字科技與普惠金融融合程度不斷加深:學習時報今日發表文章《數字科技助力普惠金融》。文章指出，近年來，隨著大數據、云計算、人工智能、區塊鏈等信息技術的快速發展，數字科技與普惠金融的融合程度不斷加深，數字科技日益成為我國破解普惠金融落地難點、實現普惠金融可持續發展的重要手段。文章中表示，數字科技有助于提升小微企業金融服務可得性，破解小微企業融資難融資貴難題；有助于提高金融服務的覆蓋面，解決金融服務“最后一公里”問題；有助于打通各參與方之間的數據通道，打造多元化普惠金融生態系統。[2020/2/14]

可描述為：

根據電路生成三個多項式，分別代表這電路的左輸入，右輸入，輸出；利用置換校驗協議，去證明復制約束關系成立；步驟3和4，校驗門的約束關系成立。其中第1點已經在電路小節里闡述過了，接下來，將詳細的講解多項式置換校驗的原理。先從簡單的場景去講解：

單個多項式的置換校驗

動態 | 工信部科技司組織開展“區塊鏈發展和展望”專題學習:工業和信息化部10月30日消息，10月29日下午，工信部科技司組織召開全司大會，開展“區塊鏈發展和展望”專題學習。會議強調，科技司全體干部要充分認識區塊鏈發展的重要性，著力推動區塊鏈和人工智能、物聯網等前沿信息技術深度融合，加快關鍵核心技術攻關，推進區塊鏈重點標準制定，為推動區塊鏈技術和產業創新發展提供有力支撐。（中國證券報）[2019/10/30]

其實就是證明對于某個多項式f，存在不同的兩個點x,y，滿足f(x)=f(y)。下面來看具體的原理：

上圖中加入了一個正例P，一個反例A，方便大家理解置換校驗的原理。有幾點需要解釋的是：

而經過仔細剖析Z的形式，不難發現，Z(n+1)其實就是兩個函數所有值的乘積的比值(不知是否等同于V神文章里的坐標累加器？)。理論上是等于1。因此，我們需要設計這樣的一個多項式Z，需滿足：deg(Z)<n

聲音 | 瀘州市陳衛東：要學習運用好“區塊鏈+供應鏈金融”科學創新模式:據四川新聞網消息，7月9日，四川瀘州市構建區塊鏈+供應鏈金融戰略布局接洽會在四川大學瀘州產業技術研究院召開。瀘州市科技和人才局副局長陳衛東指出，要進一步發揮川大瀘州產研院紐帶作用，建立供應鏈金融產學研協同創新機制，共同解決供應鏈金融實際問題。要學習運用好“區塊鏈+供應鏈金融”科學創新模式，逐步解決瀘州市主導產業融資難、融資貴難題。[2019/7/11]

Z(n+1)=1

2.乘法循環群剛好可以滿足這個條件，如果設計一個階為n的一個乘法循環群H，根據群的性質可以知道Z(g)=Z(g^(n+1))。因此，在設計Z時，會保證Z(g)=1；上圖中的自變量的取值也將從{1...n}變成{g...g^n}。所以在上圖中驗證的部分，a其實已經換成了群H里的所有元素。

3.根據論文中的協議，多項式Z是會發給可信第三方I驗證方V會從I處獲取到多項式Z在所有a處的取值，然后依次校驗。

下面具體看一下論文中的定義：

從定義中可以看出：多項式f,g在范圍內具有相同的值的集合；下面看一下論文中具體的協議部分，結合上述解釋的3點：

說明：圖4中的f,g對應圖3中的f。即f,g是同一個多項式。其實只要是相同的值的集合，也可以不用于是同一個多項式。圖3是一個特例而已。

跨多項式的校驗

其實就是證明對于某個多項式f，g，存在兩個點x,y，滿足f(x)=g(y)。與存在兩處不同：

多個多項式；不強制x,y的關系，即也可以等，也可以不等；有了(1)小節的基礎，這次我們先看一下相關的定義：

從定義可以看到，這次是兩個多項式集合見的置換校驗算法。從標注的部分可以看出：

兩個多項式集合仍然具有相同的值的結合；為了區分集合里的多項式，自變量的索引得區分開來；因此，可以想象的到，如果存在兩個多項式f,g，想要證明f(x)=g(y)，那么根據以上描述可以判斷{f1,f2}={f,g}={g1,g2}。也保證了上述第1點的成立。

下面我們看一下具體的原理：

和(1)小節相比，證明方P增加了些工作量，驗證方V工作量不變。結合上述描述，也能很容易的理解其數學原理。

說明：至此，其實我們已經慢慢的接觸到PLONK算法的核心了，前面我們講到，電路的滿足性問題除了門的約束關系還有門之間的約束關系。

比如一個輸入x，它既是一個乘法門的左輸入，又是另外一個乘法門的右輸入，這就需要去證明L(m)=R(n)，這就是跨多項式的置換校驗。

下面再給出論文里的協議內容：

至此，本篇文章已經描述了，在PLONK算法里，電路的設計以及復制約束的成立驗證兩大部分，接下來，將會另起一片文章，去分享門約束的成立和整個協議的具體步驟。

以上都是作者小白的個人理解，還希望各位讀者多多指教，謝謝。

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