深入分析 Uniswap V3 流動性供應的數學原理_SWAP

前言

Uniswap是DeFi領域的頭部去中心化交易所，其在今年5月上線了V3版本協議。V3版本與之前V2版本相比存在諸多差異，如集中流動性、多個費用等級、新的預言機等等。

在這些多樣的特點背后，究竟藏著怎樣的數學奧秘，同時是否真的能為用戶帶來更大的收益，減少無常損失？

知道創宇區塊鏈安全實驗室?將帶你從數學原理角度在UniswapV3集中流動性方面進行剖析。

何謂集中流動性

在UniswapV3中，流動性提供者可以將其提供的流動性"限制"在任意的價格區間內來集中其流動性。

為了解釋這一概念，首先我們關聯到UniswapV2的自動做市商曲線。在該曲線中，用戶的流動性被均勻的分布在整個(0,正無窮大)之中。

圖1

在V2版本中，由于許多池子的價格變動沒有那么的頻繁，比如UDST/DAI池子中。由于其價值均錨定美元，發生的交易將會聚集在上圖中的A點附近，這就意味著流動性池中的大部分資產是永遠不會被觸及到的。

因此在V3中，用戶可以將其流動性聚集在某一個線段。如下圖B到C點：

姚前：區塊鏈技術值得數據跨境流動及其監管各方深入研究:《中國金融》2020年第22期，中國證監會科技監管局局長姚前刊文《數據跨境流動的制度建設與技術支撐》表示，支付標記化技術將個人數據的“匿名化”交由可信第三方負責，而區塊鏈技術則創造了用戶完全自主可控的數據隱私保護新思路。用戶的私鑰可以本地生成，通過公鑰計算發布有效的賬戶地址，從而隔斷賬戶地址和賬戶持有人真實身份的關聯。通過控制私鑰，用戶可以在區塊鏈上自主完成交易，雖然在區塊鏈網絡上能夠看到每一筆交易的細節，但無法對應到現實世界中的具體某個人。區塊鏈技術從根本上打破中心化模式下數據控制者對數據的天然壟斷，賦予用戶真正的數據隱私保護權。區塊鏈技術還可與先進密碼學技術結合，發展出各類隱私保護方案。比如，利用基于環簽名、群簽名等密碼學方案保護簽名方身份；采用高效的同態加密方案實現密文的多方處理，隱藏用戶交易金額等敏感信息；采用零知識證明方案，使交易數據能被審查和驗證，但又不能被真實探知。區塊鏈技術這一自主可控的隱私保護新思路，值得數據跨境流動及其監管各方深入研究。[2020/11/24 21:56:04]

圖2

這樣，由于大量用戶的流動性被集中，對于B點到C點的線段的流動性將會變得非常"厚"，這樣的池子將使得來交易的人交易滑點得以顯著減小，并有效提高資本效率。

中國證券報：隨著區塊鏈等金融科技應用深入 需加強個人金融信息保護:5月11日，中國證券報刊文稱，相關金融基礎設施亟待完善，隨著大數據、區塊鏈等金融科技應用不斷深入，涉及個人金融信息保護的基礎網絡設施、IT架構、數據結構治理等亟待監管部門協調構建。[2020/5/11]

如何將流動性集中

在具體實現的過程中，V3依靠了資產的杠桿。將一部分用戶資產虛擬出來，導致了坐標軸圖像的平移，虛擬資產假設對應x'和y'。

在原始的UniswapV2中，曲線公式為：x*y=k

UniswapV3通過引入x'和y'資產升級了該公式。此處x'我們將其稱為x資產的虛擬儲備，y'稱為y資產的虛擬儲備，于是引入了如下式子：

由于為資產添加了杠桿，使下圖中原本在下面的曲線，能夠平移到上面儲備量更大的曲線中去，這也意味著在有限的的價格范圍內，一組較小的儲備x、y能夠充當更大的儲備x+x'、y+y'。

同時，上方為虛擬資產被添加后的虛擬AMM曲線。在實際交易曲線中，下方才是流動性提供者資產的真實變化曲線。

于是，在B點或C點時，處于強勢的資產將被損耗為0，也就是說將會全部兌換成劣勢資產并停止做市。

如下圖3：

動態 | 湖南婁底書記市長會見中國工程院院士陳純，深入探討區塊鏈技術與應用:據婁底新聞網消息，湖南婁底市委書記、市人大常委會主任李薦國9月19日會見中國工程院院士、杭州趣鏈科技有限公司董事長陳純。雙方圍繞區塊鏈技術與應用等方面開展合作，進行了深入探討。李薦國表示，婁底市委、市政府對于區塊鏈發展是積極支持、穩步推進的，目前已取得了初步成效。我們希望雙方能夠尋求一種利益共享、風險共擔、合作共贏的發展模式，在堅持政府引導、企業主導的基礎上，加強對區塊鏈技術應用的監管，讓區塊鏈更好地為經濟社會發展服務，為提高政府效能、創新社會管理服務，盡快把技術優勢轉化為經濟優勢，讓老百姓得到實惠。[2019/9/20]

圖3上方為虛擬平移的AMM曲線

根據V2的自動做市曲線方程。讓L被定義為k=L^2，于是有該式：x*y=k=L^2

對其開根號，即有

而對于價格來說，當前的價格P(用y對x資產定價)有：

根據式3，對其取平方根，即有：

聯立式4與式2，我們可以消去y，對于閉區間任一點，則有：

同理可消去y，對于任一點，則有：

于是，我們只要知道P(x的價格)，在流動性沒有改變時(L不改變)，則可以得到對應的x資產量和y資產量。

計算虛擬資產(x'/y')

安永與Coinbase達成長期深入合作，前者為后者IPO提供全方位輔導:據悉，全球四大會計師事務所之一的安永于近期與全球知名的數字貨幣交易所和錢包服務提供商Coinbase達成長期深入合作，安永將組建包括審計部門、咨詢部門、并購部門和稅務部門的跨條線的Fintech專家團隊為Coinbase提供第三方鑒證審計，同時為Coinbase的IPO提供全方位的輔導。[2018/3/27]

圖4虛擬資產x'與y'

考慮極端情況，在上圖中，經過平移后上方的AMM圖形由于在B點時，用戶提供的x資產由于在實際中已全部損耗。

也就是說x=0，剩余的x均為虛擬出來的，即x'。

根據式5去計算。此時計算x資產量對于B點有：

同理，我們計算C點，此時用戶提供的y資產由于在實際中已全部損耗，即有y=0，剩余的y均為虛擬出來的，即y'。則有

由上可知，xb?與?yc?則是Uniswap為用戶虛擬出來的Token量，即x'與y'，這也是Uniswap中為用戶開的杠桿的Token數量。

于是，我們得到完整UniswapV3的AMM曲線，見式9：

馬耳他區塊鏈暨比特幣大會：深入探討國家區塊鏈戰略及數字貨幣立法問題:上周，在馬耳他圣朱利安舉辦了馬耳他區塊鏈暨比特幣大會（Blockchain & Bitcoin Conference Malta），對涉及加密數字貨幣、區塊鏈和ICO等問題進行了深入探討。馬耳他政府的高級官員和國家區塊鏈戰略制定者們出席了本次會議。據悉，本次大約吸引400位業內人士參會，包括行業開發人員、投資人、企業家、銀行和信貸機構代表、以及金融科技專家、律師和記者等。觀眾聽取了20位嘉賓的演講，同時也有15家公司登臺進行了展示。[2017/12/13]

同時，對于選定的區間中的任意一點，由用戶提供的真實的資產見下圖：

注：下圖摘自UniswapV3白皮書，區間為，任意一點被選擇為c

圖5用戶提供的真實資產與虛擬儲備AMM曲線

隱患-無常損失

由于V3在用戶的選擇下將流動性使用添加杠桿的方式進行了集中，而對于流動性提供者來說本質上是在與用戶做對手盤，即越跌越買，越高越賣，這將導致無常損失的加劇。

根據上述分析，只要價格達到設定的區間臨界點，流動性提供者的代幣將會完全轉換為另一種處于劣勢的代幣，并且在價格重新進入該臨界點之前不會賺取交易費用。

世上沒有什么免費的午餐。風險越高，收益越高。你提供的流動性越集中，你獲得的手續費收入就越高，同時也將承擔更多的無常損失。——Uniswap創始人，HaydenAdams

UniswapV3--添加流動性

具體而言，假設現有一UniswapV3交易池，交易對ETH/DAI，池中X與Y儲備比例10:800，L2為8000，P為80即交易價格80DAI/ETH。

當前價格對應點A(10,800)，若一流動性提供商，嘗試在P=進行做市。對應的點B(5,1600)，P=320。點C(20,400)，P=20

該流動性提供商想投入3個ETH，這3個ETH會被全部用于xreal，由于當前價格在選定區間內。

根據白皮書，有以下式子：

由式10，投入△x=3，投入的ETH將改變池子的L。經過計算△L為：

再通過△L計算△y:

于是投入3個ETH,時，計算投入的DAI應為240個。新的L'約為143.11(僅限于在閉區間P=)。

UniswapV3--Swap

對于該UniswapV3池子,若ETH突然上漲，價格到達1ETH=100DAI，此時就會有套利者在該DEX中用DAI兌換ETH來套利，為了將其達到與外部平衡，將有P=80==>P'=100，根據白皮書，Swap計算價格變化如下：

將根號后的起始價格P和結束價格P'帶入，可以計算得到△y≈151.09，而△x≈1.689。

若Swap的資產假設該流動性提供者按照L比例劃分了37.5%，于是該流動性提供者分攤x≈0.6334，y≈56.66

于是我們得出如下表格：

我們將其百分比化：IL_V3=(540-533.31)/540≈1.239%

集中流動性放大了資產L的占比，提高資產效率的同時承擔了更多的無常損失。當然，這只是選擇做市區間比較小，同時分攤比例較大的情況，現實會有許多人根據投入的L占比大小來分攤這筆swap。并且該筆swap由于本身比較大，幾乎占了總資產的21.113%，進而顯得無常損失的百分比很大，這也印證了盲目做市所帶來的虧損。另外，價格波動對其也存在影響，只上漲到P=85時IL_V3約為0.58%。

UniswapV2--添加流動性

而對于UniswapV2，假設原池中的資產量為10個ETH和800個DAI，即P為80DAI/ETH。

流動性提供者投入了3ETH和240DAI，此時則存在13個ETH與1040個DAI，價格仍為80DAI/ETH，比重占23.077%，新的K為13520。

UniswapV2--Swap

當ETH突然上漲，價格到達1ETH=100DAI，此時就會有套利者用DAI兌換ETH來套利。

設共用△y個DAI兌換△x個ETH后，AMM池中ETH:DAI價格達到與外部平衡的1:100

不考慮手續費等因素，則有：

解得dx≈1.3724,dy≈122.76，即套利者給了122.76個DAI，換走了1.3724個ETH。池子-1.3724個ETH，+122.76個DAI

這將在所有比重中分擔，于是提供者分擔23.077%，即失去0.3167個ETH，換取28.33個DAI，我們得出如下表格：

IL_V2=(540-536.66)/540≈0.6185%

具體將會取決于在V3做市區間，越小則杠桿越多，x'和y'越大，同時無常損失和手續費收益也會越多。

當然，用戶也可以如V2一樣將流動性分攤到整個曲線中去而不是某個線段，即在0到正無窮進行做市：

后記

由于篇幅原因，本篇僅就集中流動性進行了討論。UniswapV3創新了很多的新功能，其復雜程度相較于V2增加了非常多。

無可否認，UniswapV3的創新使得UniswapV2被加強，用戶可以選擇將其流動性集中在任何一個區間以獲得更多的手續費。

但與此同時這也將導致更多的無常損失和更大的資金轉換為劣勢資產速度，而這也產生了許多新特性如限價單swap等功能。

因此，在選擇做LP之前，需要認真思考自己的需求，切忌盲目做市。

參考

UniswapV3白皮書

UniswapV3新特性解析

Tags：SWAPUNIUniswapETHKingdomswapXUNII價格ethereumuniswapETHV

BTC