Paradigm最新研究：Uniswap的金融煉金術_Uniswap

注：

研究者認為，即使Uniswap流動性提供者在每一筆套利者交易中都經歷虧損，但在某些情況下，由于波動性收獲，他們仍然能比單純持幣的表現更好，在這種情況下，手續費設置應盡量接近于零，而不應為零，以盡可能多地進行再平衡。

原文作者是來自投資機構Paradigm的研究人員DaveWhite、MartinTassy、CharlieNoyes以及DanRobinson，他們也是Uniswap的種子輪投資方。

在無情的套利下，UniswapLP反而變得富有。

一、問題

10月14日，CharlieNoyes在Twitter上貼出了一個他與DanRobinson一直在爭論的問題：

“對于任何Uniswap資產對，最佳的費用是多少？這種最優的費用，能否擊敗一個未平衡的投資組合，實現去除無常損失，甚至超額增長？”

1、1背景

自動化做市商是一類去中心化交易所，它允許客戶在像USDC和ETH這樣的鏈上資產之間進行交易。而Uniswap是以太坊上最流行的AMM，與大多數資產管理系統一樣，Uniswap通過持有兩種資產的儲備來促進特定資產對之間的交易。它根據其儲備金的規模來確定它們之間的交易價格，從而使價格與更廣泛的市場保持一致。

任何愿意加入某一對資產池的人，我們稱他們為流動性提供者，或簡稱為LP，這些人會同時向兩個儲備資產貢獻資產，他們要承擔部分交易風險，以換取部分手續費回報。

1、2設置的問題

該資產池在穩定幣與價格隨機變動的風險資產之間提供流動性，我們還做出了一個特別殘酷的假設，即所有進入池子的交易都是知情的。

換言之，整個池子在每次交易后都會經歷虧損。

1、3傳統思維

乍一看，在這種情況下，成為UniswapLP似乎是一個代價高昂的錯誤。

CleanSpark 6月產出491枚BTC，出售413枚BTC:金色財經報道，比特幣礦企CleanSpark發布6月比特幣挖礦與運營數據，數據顯示，6月份開采491枚BTC，2023年共開采3495枚BTC，截至6月30日，BTC總持有量529枚，6月出售413枚BTC，平均每枚BTC約27200美元，銷售收入約為1120萬美元。6月每日BTC開采量平均為16.4枚，最高達到17.4枚。目前已部署約68,678臺最新一代比特幣礦機，哈希率為6.7EH/s。[2023/7/3 22:15:25]

由于做市商要求買入的價格要低于賣出的價格，因此當資產價格不動時，他們直接獲利，他們得到的買入和賣出量大致平衡。這些交易通常被稱為“不知情”交易，因為它們與短期價格走勢無關。

另一方面，做市商在價格下跌之前買入資產，或在價格上漲前賣出，都會虧損。因此，做市商最害怕的交易對手之一就是套利者，他們只有在價格發生變化時才會來交易，并將做市商拋在身后。套利者所執行的每筆交易，對其而言都是純利潤，而對于做市商來說則是純虧損。

由于在我們的Uniswap問題設置中沒有不知情的交易，因此，LP顯然會經歷非常大的損失。

1、4挑戰

然而，Dan和Charlie認為這個故事并沒有到此為止。

他們懷疑，對于某些潛在的價格動態而言，成為UniswapLP仍然是有意義的。

他們將這個問題拋給了數學金融領域的傳奇人物StevenShreve，然后在Twitter上公布了這個問題，MartinTassy和我獨立地提出了部分解決方案，然后合作將完全的解決方案擴展到通用情況。

在接下來的幾個星期里，我們四個人花了一些時間通過電報討論結果，尋找錯誤，建立我們的直覺，而這些討論正是這篇文章的基礎。

二、解決方案

如果一項資產的波動性相對于其平均回報率足夠高，那么隨著時間的推移，Uniswap上的LP將比囤幣者的表現更好，即使是在所有交易都是套利交易的情況下。

這是由于一種稱為“波動性收獲”的現象造成的：在某些條件下，通過周期性地對兩種資產進行再平衡，它們的表現有可能超過任何靜態投資組合。在這種情況下，“再平衡”是指進行交易，使每項資產中持有的總資產組合價值的比例返回到固定的配置，例如50/50。

The Spartan Group招聘分析師以在DeFi尋找早期投資機會:The Spartan Group正在招聘一名分析師加入新風險基金團隊。新風險基金團隊在加密貨幣領域有良好記錄。職責包括在DeFi尋找早期投資機會；定期與Spartan投資組合創始人溝通以提供支持；支持在DeFi制定我們不斷發展的基金論文。[2021/2/1 18:36:10]

因此，當LP被套利時，他們基本上會向市場支付一筆費用，為他們重新平衡投資組合。在這個特定的數學環境中，當這種再平衡是有益時，你就要盡可能多地這樣做。這意味著流動性提供者應將其費用設置為盡可能低而不為零。

這對于Uniswap來說是個好消息，因為這意味著即使在套利交易占主導的情況下，仍然可以享受低廉的費用，這使Uniswap在鏈上訂單不斷增加并開始提供更小的價差時保持競爭力。

也就是說，值得重復的是，這些結果適用于非常特殊的程式化數學設置，其中涉及的假設與Black-Scholes期權定價模型非常相似。為了數學上的方便，我們還假設了一個不同于Uniswap生產中使用的費用結構。

2、1對照標準

我們通過比較它們的漸進式財富增長率來評估不同的策略，這些增長率衡量它們在長期內復合價值的速度。

這個數量是很重要的，因為隨著時間的推移，優化它的策略比幾乎不確定的策略執行得更好。

我們將所有策略與“未平衡投資組合”進行比較，后者的一半價值是穩定幣，另一半則是風險資產，在這之后再也不會改變。這也是衡量AMM中所謂的“無常損失”的社區標準。

不管發生什么，未平衡的投資組合總是持有相同數量的穩定幣，這意味著，在最壞的情況下，當風險資產失去其全部價值時，未平衡的投資組合將幾乎完全由穩定幣組成，因此從長期來看增長率將為零。

另一方面，如果風險資產呈指數增長，它將很快成為未平衡投資組合的主導，因此其增長率與風險資產相同。

值得注意的是，兩個投資組合可以共享相同的漸進式財富增長率，而在近距離表現上卻截然不同。例如，如果風險資產的增長率為零，那么零費用的Uniswap的股份價值將始終低于未平衡的投資組合，但由于預計隨著時間的推移，兩者都不會復合增長或虧損，因此兩者的財富增長率都將為零。

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2、2波動性阻力

50%損失/75%收益過程中的波動阻力。

要理解這些結果，首先要理解波動性阻力的概念。假設我們的風險資產，其價格每年要么下跌50%，要么上漲75%，并且兩者發生的概率相等。

在任何一年，如果我們投資該資產100美元，我們的期望值是/2=112.5美元。如果我們簡單地買入并持有，則我們的投資組合的預期價值將逐年增加12.5%，這似乎是個不錯的交易。

不幸的是，在現實世界中，我們的利潤不會實現。如果我們購買并持有這種證券，我們最終將失去一切。

這是因為，隨著時間的推移，財富的復合會帶來災難性的損失。

如果我們一年損失50%，然后下一年增長75%，那我們最后擁有的只有投入時的87.5%。

隨著時間的推移，大數定律會保證我們的收益為每年-15%，那我們將不可避免地破產。

2、3等等，發生了什么？

如果你受過從期望值的角度分析賭博的訓練，那么前一節很有可能看起來非常奇怪，甚至可能完全不正確。

實際上，一個多星期前，我們有了這個問題的完整的、閉合式的數學解，在此之前我完全不知道它在直覺上意味著什么。

究其根源在于：期望值是一個理論量，它衡量了如果我們在無數平行宇宙中同時復制給定的博弈，將會發生什么。

但現實并非如此，每次博弈我們只有一次機會，而我們所進行的博弈的效果不是瞬間的，而是隨著時間的推移而復合的。

我們可以從另一個角度來看待它，以幫助調和數學。隨著我們不斷重復博弈，每次都將資金再投資，只有極少數的路徑是正確的，從而產生了天文數字的回報。

動態 | PARSIQ監視平臺已支持監視比特幣網絡:PARSIQ監視平臺已支持監視比特幣網絡，其用戶現可跟蹤比特幣網絡數據和分析比特幣網絡活動。（CryptoNinjas）[2020/1/7]

隨著時間的推移，這些路徑在所有可能的路徑中所占的比例越來越小，而我們真正看到其中一條路徑實現的機會也會縮小到零。

2、4再平衡的價值

面對波動性阻力，即使在預期值為正的情況下，也要將部分資金儲備起來。這樣，當事情出了問題時，你的損失就會減少，從長遠來看，這會增加你的復合財富。

就交易而言，所有這些都會產生一些相當熟悉的概念。當價格上漲時，有時平倉部分頭寸以鎖定利潤，以防價格再次下跌。當價格下跌時，有時，為了以一個有利的價格獲得預期的未來回報，抄底是有意義的。

在某些情況下，比如這一次，最佳策略是不斷地重新平衡你的投資組合，這樣你在每一個頭寸上總是有固定比例的財富投資，比如說，一半穩定幣，一半風險資產。這并不總是最佳的平衡，一般來說，你希望投資組合中的風險資產越多，其回報率相對于其波動性越高，但我們將進一步的探索推遲到未來的工作。

對長期財富增長進行再平衡的好處可能是巨大的，可能意味著指數級財富增長和破產之間的區別。即使在我們設置的背景下，每一筆再平衡交易的價格都很不利，并造成瞬時損失，這也是事實。

2、5資源

很有可能你對這些解釋感到不滿意，并想了解更多。

你可以先回顧一下凱利公式，這是一個基于這些原則的理論上最優的投注策略。@wpoundstone的《財富公式》是一本備受推崇且易于閱讀的關于凱利公式歷史和含義的書籍。

另一方面，對于財富增長數學的深入研究，我強烈推薦@ole_b_peters的遍歷性經濟學課堂講稿或他在《自然》雜志上發表的文章。

如果你選擇要自己研究，那你一定要小心，這是一個鮮為人知的領域，在我自己的研究過程中，我發現很多資料來源都有錯誤，這使我的理解倒退了數小時或數天。

特別是，如果你看到有人呼吁均值回歸或對數效用函數，我建議你不要停留，繼續前進。這一領域的關鍵結果不需要假設任何特定的收益分布或效用函數。

2、6費用煉金術

動態 | CryptoCompare推出加密貨幣交易所基準排名:據CoinDesk 6月12日消息，加密貨幣數據和索引提供商CryptoCompare公司宣布推出來自全球100多個活躍現貨交易所的基準排名。根據5月1日至31日期間的數據進行的第一次分析顯示，最受信任的三個交易所是Coinbase，Poloniex和Bitstamp。[2019/6/12]

在這種設置下，什么時候成為LP是有益的，LP應盡可能經常地重新平衡，以最小的成本促進再平衡？

然而，當費用完全為零時，再平衡的所有好處都會消失，而且在大多數情況下，LP的境況比他們僅僅持有未平衡投資組合的情況更糟糕。

理解這一看似反常的現象，有助于揭示問題的其余部分。

Uniswap使用“恒定乘積”不變量，這意味著在不收取費用的情況下，每筆交易都必須保持儲備金余額的乘積不變。我們將此表述為

，盡管已熟悉Uniswap的讀者可能更習慣于將其寫成x*y=k。

然而，事實證明，為了實現再平衡，這種乘積C的數字必須增加，以便為我們提供超額的財富增長。

為什么C是如此重要的？我們說

是我們的儲備金余額Ra和Rb的幾何平均數。與算術平均數一樣，幾何平均數隨著儲備量的增加而增加。然而，與算術平均數不同的是，幾何平均數隨著儲備量的失衡而縮小，即使它們的算術平均數保持不變。

在不收取任何費用的情況下，C是恒定不變的，因此交易總是導致更大的儲備或更平衡的儲備。這兩者從來不會同時存在，因此，財富增長沒有動力。

然而，在現實世界的Uniswap，或我們設置的環境中，非零費用保證了每次交易C都會增加。隨著時間的推移，這意味著儲備金不僅在增長，而且還保持平衡，這提供了上面討論過的好處。

要了解這是如何計算的精確數學，請參閱Martin和我的證明論文的3.1部分。

三、數學

說了這么多，我們現在可以準確地回答Charlie最初問題陳述中提出的問題。

重申一下，他們關注的是Uniswap風格AMM的財富增長率G，其中百分比費率

影響穩定幣和波動資產（以幾何布朗運動波動，并帶有參數

漂移和

波動性）之間的市場。

3、1LP財富增長率

3、2最優費用和超額回報

當且僅在以下情況下時，作為一名LP持有一半穩定幣和一半風險資產的收益，要超過單純持幣：

在這種情況下，LP應將他們的費用設置為盡可能低但不為零，他們將實現財富增長率逐漸接近

3、3解釋

由于幾何布朗運動模擬復合增長，它們也受到波動性阻力的影響，其在數學上表示為

，財富增長率為：

這意味著，在

范圍內，成為Uniswap的LP，要比

的HODL增長率更有意義。

這給了我們一個觀察結果的視角：再平衡使我們能夠部分抵消基礎資產的波動性阻力。如果沒有波動性阻力，平均回報也為零或負，那么再平衡的數量也將無濟于事。盡管重新平衡后的投資組合仍會比僅僅持有資產本身做得更好，我們最好還是只持有穩定幣。

另一方面，如果沒有波動性阻力的平均收益為正：

如果波動性阻力使資產損失超過其平均對數回報的200%，那么在Uniswap上進行再平衡將無法消除足夠多的阻力，那你最好還是持有穩定幣。

如果波動性阻力使資產損失低于其平均對數回報的66%，那么在Uniswap上進行再平衡是不值得的，你最好還是簡單地持有資產。

在這個范圍內，成為UniswapLP最終會讓你變得富有，事實上，要比你持有任何穩定幣和波動資產組成的未平衡投資組合更富有。這既包括一些最終將變得一文不值的資產，也包括一些將呈現拋物線增長的資產。

3、4證明

關于完整證明的預印本論文你可以在

這里找到。它的工作原理是為離散隨機游走建立動力學模型，然后在將步長縮小到零時采取行為限制。

你也可以查看我為零對數漂移情況的原始證明，并在此處進行一些問題模擬。

3、5我們應該對這些研究結果給予多少信任？

在我個人看來，這是非常可信的。

我們有兩種獨立的證明方法，而它們在域重疊時會產生相同的結果。我們還有一些模擬可以驗證我們的預測：

模擬與預測的財富增長率。

盡管如此，這仍然是一個非常令人困惑的領域，在過去的幾周中，我對它的理解已經發生了許多次變化。如果你確實發現了錯誤，請隨時與我們聯系。

四、未來的工作

盡管我們希望你同意這些研究結果在理論上是有趣的，但仍有大量的工作要做，以確定它們與現實世界的相關性。

例如，我們的許多假設可以修改或擴展：

如何將這些結果轉化為多資產案例，或者什么時候LP可以選擇像Balancer那樣的50/50以外的比例來重新平衡？

當我們不再允許每單位時間進行無限交易時會發生什么？

當我們引入交易成本，而其甚至可以變化以反映優先gas拍賣動態時，會如何呢？

還有一些實證問題：

我們能為今天市場上的證券類交易估計這些參數嗎？

有多少積極交易的代幣，可以從我們描述的這種再平衡策略中受益？

我們能否確定由于波動性收益而在現實中實現UniswapLP回報的比例是多少？

最后，也許是最有趣的是。我們如何才能將在此學到的知識用于改進現有協議，是創建一個新的協議，還是作為一個整體來發展DeFi生態系統？

五、讓我們來一起討論

有什么問題？想法？潛在的應用？

我們想要聽聽你的聲音。

@_charlienoyes●@danrobinson●@_Dave__White_●@MartinTassy

感謝VitalikButerin、MattHuang、GeorgiosKonstantopoulos以及AlexEvans為本文提供的意見。

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