技術干貨 | 理解零知識證明算法之Bulletproofs：Range Proof I_ROO

前言

Bulletproofs，又一個有意思的零知識證明算法，相信讀者已經很熟悉它了。和zk-snark相比，它不需要可信設置；和zk-stark算法相比，它具有較小的proofsize。根據論文，它有兩個方面的應用：1.用于rangeproof；2.用于一般算術電路的零知識證明。下面，讓我們先看一下Bulletproofs是如何高效的實現第一點。

Rangeproof

1.?預備知識

aL：表示向量{a1,a2……an}

2n：表示向量{20,21…2n-1}

<a,b>：表示向量內積∑ai*bi，結果是一個值

aob：向量對應位相乘，{a1*b1……an*bn}，結果是一個向量

2.?證明

Alice想要證明

v?

=>則，需要證明一個relation得成立，如下所示：

{：V=grhv^v?}

public-x??????????witness-wrelation-R

即，對于公開信息x，Alice有隱私信息w，使得關系R成立。

令aL為金額v的在范圍內的二進制形式，則aL={a1,a2……an}?{0,1}n，且滿足<aL,2n>=v。因此，證明者需要證明以下幾個等式相等：

國家標準《區塊鏈和分布式記賬技術參考架構》將于12月1日實施:金色財經報道，據全國標準信息公共服務平臺信息，日前，國家標準《區塊鏈和分布式記賬技術參考架構》正式發布，將于2023年12月1日實施。

據悉，《區塊鏈和分布式記賬技術參考架構》由全國區塊鏈和分布式記賬技術標準化技術委員會歸口，主管部門為工業和信息化部。

該標準的主要起草單位包括中國電子技術標準化研究院、中國人民銀行數字貨幣研究所、上海萬向區塊鏈股份公司、深圳前海微眾銀行股份有限公司、中國平安保險（集團）股份有限公司、眾安信息技術服務有限公司、廈門安妮股份有限公司等；主要起草人包括周平、穆長春、李鳴、于秀明、狄剛等。[2023/5/29 9:48:14]

V=grhv????(1)

<aL,2n>=v???(2)

aLoaR=0n??(3)

aR=aL-1n???(4)

等式(1)確保了承諾V和金額v的綁定關系，等式(2)確保了v的范圍，等式(3)(4)確保了a

L元素只屬于{0,1}。等式(2)/(3)/(4)總共包含了2n+1個約束，其中公式(2)1個，公式(3)(4)各n個。接下來，為了效率，我們需要把2n+1個約束轉換成1個約束。

3.?2n+1個約束轉換成1個約束

=>預備：從Zp中任意選擇一個數y，則b=0n是等式<b,yn>=0成立的充分條件；因為當b!=0n，等式成立的概率僅有n/p，p是有限域，遠大于n。因此，如果有<b,yn>=0，那么驗證者愿意相信b!=0n。

VanEck CEO：區塊鏈技術將徹底改變華爾街:金色財經報道，全球投資公司VanEck首席執行官Jan van Eck表示，加密貨幣行業將繼續發展，而區塊鏈技術“將徹底改變華爾街”。這種轉變可能需要一些時間，因為監管機構需要批準該領域的每一步。Jan van Eck還談到NFT現象并表示，我對所有的技術感到驚嘆。那是積極的。

此外，Jan van Eck稱，一些歐洲國家表現出的對加密貨幣友好的立場將給這個行業帶來另一種推動。唯一的例外是英國，那里的當局不贊成數字資產。（cryptopotato）[2022/4/11 14:16:45]

利用這個理論，我們把等式(2)/(3)/(4)做以下轉換：

1.驗證者隨機選取一個數y發送給證明者；

2.證明者要證明：

<aL,2n>=v(5)

<aL,aRoyn>=0???????(6)

<aL-1n-aR,yn>=0???(7)

同理，等式(5)確保了v的范圍，等式(6)(7)確保了a

L元素只屬于{0,1}。此時2n+1個約束轉換成3個約束，接下來，還需要做進一步的處理：

1.驗證者隨機選取一個數z發送給證明者：

2.證明者利用z對公式(5)(6)(7)進行線性組合，得到如下公式：

民生電商旗下平臺與九江銀行達成合作，用區塊鏈等技術實現智能金融監管:近期，民生電商旗下民農云倉科技平臺與九江銀行“智慧倉庫”產品正式達成合作，雙方通過共同構建供應鏈融資科技通道。據了解，疫情期間，通過此合作通道九江銀行已成功為糧食產業企業實現授信1億元。本次合作，民生電商通過民農云倉的物聯網與區塊鏈、大數據等技術，協助九江銀行“智慧倉庫”產品實現智能金融監管與資產數字化，將產業供應鏈上下游企業的資產與九江銀行的資金成功對接，并通過民生電商的供應鏈管道，助推九江銀行將資金輸送到疫情期間受到沖擊的糧食產業前端的中小企業，協助其快速恢復生產，降低疫情對經濟和民生等方面的沖擊。（每日經濟新聞）[2020/3/21]

z2*<aL,2n>+z*<aL-1n-aR,yn>+<aL,aRoyn>=z2*v???(8)

至此，我們已經把2n+1個約束轉換成1個約束。下面我們對公式(8)做進一步的優化，把三個點積優化成1個點積

4.?三個點積優化成1個點積

=>z2*<aL,2n>+z*?<aL-1n-aR,yn>+<aL,aRoyn>=z2*v

=><aL,z2*2n>+<aL,z*yn>-<z*1n,yn>-<z*aR,yn>+<aL,aRoyn>=z2*v

動態 | 尼日利亞女性會計師協會組織新金融技術研討會 內容涉及區塊鏈:據allAfrica.com消息，尼日利亞女性會計師協會（SWAN）最近為會計專業人士組織了一個關于新的金融技術趨勢的研討會，內容涉及區塊鏈。[2018/10/5]

=><aL,aRoyn+z*yn+z2*2n>-<z*1n,yn>+<z*1n,ynoaR>=z2*v

=><aL,aRoyn+z*1noyn+z2*2n>-<z*1n,yn+ynoaR>=z2*v

=><aL,(aR+z*1n)oyn+z2*2n>-?<z*1n,yn+ynoaR>=z2*v

=><aL,(aR+z*1n)oyn+z2*2n>-?<z*1n,(aR+z*1n)oyn+z2*2n-z*1n*yn+yn-z2*2n>?=?z2*v

=>?<aL-z*1n,(aR+z*1n)oyn+z2*2n>-<z*1n,-z*1n*yn+yn-z2*2n>=?z2*v

=>?<aL-z*1n,(aR+z*1n)oyn+z2*2n>=z2*v+<z*1n,-z*1n*yn+yn-z2*2n>

=>?<aL-z*1n,(aR+z*1n)oyn+z2*2n>=z2*v+<z*1n,(-z*1n+1n)*yn>-<z*1n,?z2*2n>

藝術品拍賣龍頭企業：區塊鏈技術值得研究和期待:據北京商報報道，藝術品拍賣行業業界人士普遍表示，區塊鏈通過點對點的加密方式，核心特征就是去除人工化，是否能夠跟拍賣藝術品的市場有所結合，值得期待。北京保利國際拍賣有限公司副總經理陳零初認為，“科技對于拍賣行業來講，一方面是借力，另一方面是倒逼。區塊鏈、大數據、物聯網的發展都需要我們去重視和研究，否則我們將會被淘汰”。中國嘉德國際拍賣有限公司副總裁王輝認為，區塊鏈技術的發展還在早期，特別是應用方面。但這個課題也是非常有前端性的，拍賣行也要早做準備。[2018/4/21]

=>?<aL-z*1n,(aR+z*1n)oyn+z2*2n>=z2*v+(z–z2)*<1n,yn>-z3*<1n,2n>???(9)

=>?令

L=?aL-z*1n

R=?(aR+z*1n)oyn+z2*2n

δ=?(z–z2)*<1n,yn>-z3*<1n,2n>

5.驗證：

1.證明者把L/R/V發送給驗證者；

2.驗證者事先算好δ

3.驗證者根據L算出來aL，根據<aL,2n>=v算出v

4.驗證者根據L,R,v,δ驗證等式<L,R>=z2*v+δ

因為y，z都是驗證者提供，因此如果驗證者如果能驗證公式(9)成立，則相信等式(5)(6)(7)成立，則相信等式(2)(3)(4)成立，則相信v滿足關系v?。

但是，可以看到上述過程，泄露了v的信息，因此需要一個零知識證明協議。

6.?一個零知識證明協議

由于L,R包含了v的相關信息，因此，我們需要添加兩個盲因子s

L

、s

R來隱藏a

L，a

R。如公式(10)(11)所示：

l(X)=(aL-z*1n)+sL*X)??(10)

r(X)=(aR+z*1n+sR*X)oyn+z2*2n???(11)

此時，定義公式(12)

t(X)=<l(X),r(X)>=t0+t1*X+t2*X2???(12)

可以看出系數t

0是l(x)和r(x)常數項的乘積，即滿足：

t0=<L,R>=z2*v+δ

因此，問題由證明：

<L,R>=z2*v+δ

轉化成了，在任意一點x，驗證者驗證多項式值l(x),r(x),t(x)滿足關系：

<l(x),r(x)>=t(x)

多項式值l(x),r(x),t(x)由證明者提供，為了保證l(x)，r(x)well-formed，即：

l(x)=(aL-z*1n)+sL*x)

r(x)=(aR+z*1n+sR*x)oyn+z2*2n

需要校驗：

P=A*Sx*g(-z)*(h`)z*yn+z^2*2^n

=hαgaLhaR*(hρgsLhsR)x*g(-z)*(h`)z*y^n+z^2*2^n

=hαgaLhaR*?hρxgsL*xhsR*x*g(-z)*(h`)z*y^n+z^2*2^n

=hα+ρx*gaL+sL*x–z*1^n*haR+sR*x*(h`)z*y^n+z^2*2^n

=hα+ρx*gaL+sL*x–z*1^n*(h`)y^no(aR+sR*x)*(h`)z*y^n+z^2*2^n

=hα+ρx*gaL+sL*x–z*1^n*(h`)y^no(aR+sR*x)+z*y^n+z^2*2^n

=hα+ρx*gaL+sL*x–z*1^n*(h`)y^no(aR+sR*x+z*1^n)+z^2*2^n

=?hμgl(h`)r

=>當且僅當l/rwell-formed，等式成立

為了保證t(x)well-fromed，即：

t=t0+t1x+t2x2

需要校驗：

=>gthτx=?Vz^2*gδ*T1x*T2x^2

=>gthτx=?(hrgv)z^2*gδ*(gt1)x*(hτ1)x*(gt2)x^2*(hτ2)x^2

=>gthτx=?hz^2*r+τ1*x+τ2*x^2*gz^2*v+δ+t1*x+t2*x^2

=>gthτx=?hz^2*r+τ1*x+τ2*x^2*gt0+t1*x+t2*x^2

=>t=?t0+t1*x+t2*x2&&τx=?z2*r+τ1*x+τ2*x2

=>當且僅當t和τxwelle-formed，等式成立

具體的協議流程圖如下圖所示：

總結

從上述流程可以看出，一次rangeproof，證明者需要發送總共{

l/r/t/

τ

x

/

μ

/T1/T2/A/S}個元素給驗證者，總共2n+3個Z

p元素，4個G元素。下一篇文章將細講，Bulletproofs如何將交互復雜度降低到對數級O(log(n))

附錄

1.Bulletproofs論文：

chrome-extension://cdonnmffkdaoajfknoeeecmchibpmkmg/assets/pdf/web/viewer.html?file=https%3A%2F%2Feprint.iacr.org%2F2017%2F1066.pdf

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