從 Uniswap v3 到 crvUSD LLAMMA_Uniswap

作者介紹：

0xmc@0xreviews:機制審計、產品設計、密碼經濟學獨立研究員。

0xjezex@0xreviews:代幣經濟學獨立研究員，初級Solidity工程師，倫敦帝國理工學院金融科技碩士生。

0xstan@0xreviews:獨立開發者，DappLearning核心貢獻者。

paco@perp.com:Solidity開發者、安全研究員、DeFi愛好者。

前言

Curve穩定幣最難的部分是LLAMMA。LLAMMA參考了Uniswapv3中的一些原則。但是，白皮書中的價格與Uniswapv3白皮書中的算法不同。我們將統一這兩個項目，并嘗試了解CurveCEO是如何設計這個演算法。

用Uniswapv3作為參考

本文中價格的定義與Uniswapv3互為倒數。因此，我們修改了Uniswapv3白皮書中的公式，讓它與本文保持一致。簡而言之，LLAMMA試圖讓Uniswapv3中的一切都變得動態，以便為crvUSD債務人和清算人提供更適當的價格。

恒定乘積公式(ConstantProductFomula)比較

Uniswapv3白皮書中的公式(2.2)：

美SEC委員：美國加密法不能假設一切都是金融資產??:金色財經報道，美國證券交易委員會委員Hester Peirce在澳大利亞區塊鏈周上被問及她將如何監管加密貨幣，Peirce表示，我認為我們必須確保無論采用何種監管框架，都不能僅僅假設一切都是金融資產 。雖然加密貨幣被認為是非常金融化的術語，但還存在其他用途 ，例如使人們無需中心化實體即可進行交互。這在金融領域很有用，但在構建社交媒體平臺或其他任何方面也很有用。[2023/6/29 22:07:32]

圖一：Uniswapv3虛擬流動模擬

Curve穩定幣白皮書中的公式(1)：

圖二:有外部價格來源的AMM

在這裡Pcd代表Pcurrent_down,Pcu代表Pcurrent_up

而對應關係為：

黃立成過去24小時在Blur出售536枚NFT:金色財經報道，據PeckShield監測顯示， 黃立成（推特賬號Machi Big Brother）為準備Blur空投，在過去24小時已在Blur出售536枚NFT，包括342枚Otherdeed、63枚CloneX、54枚MAYC、21枚BAKC、13枚Azuki、12枚Moonbirds、2枚PudgyPenguins和BAYC等。[2023/2/22 12:22:37]

對應的恒定乘積公式為：

而在這之間：

流動性計算公式對應

Uniswapv3白皮書中的公式(6.7)：

由于它們的價格定義之間存在倒數關係，對應的公式為：

數據：一地址在半小時前將6314枚BTC從未知錢包轉入幣安:1月19日消息，據Whale Alert監測顯示，半小時前一地址將6314枚BTC（約1.3億美元）從未知錢包轉入幣安。[2023/1/19 11:21:32]

此公式的一個具體應用是：

平方展開可以得到：

從上面的公式我們很容易的可以了解，當y0保持不變，Pcd和Pcu數值越接近，相對應的流動性I則越大。

換句話說：

流動性不可能是無限的,在UniswapV3中對應最小的tick會限制L的大小。

由此可以推斷在LLAMMA中，我們還需要定義一個指標來衡量價格之間的最小差異，來繼續Uniswapv3和Curve的類推。

對應最小差價

比特幣挖礦協議Stratum發布V2參考實現版本:10月11日消息，比特幣挖礦協議Stratum發布開源Stratum V2參考實現（SRI）版本，可立即用于試點測試。Stratum將在之后進行更新，允許礦工選擇自己的工作并通過Job Negotiation協議與礦池進行協商。

Stratum表示，SRI已經開發兩年，獲得BitMEX、Foundry、Galaxy Digital、Spiral和Summer of Bitcoin等支持。[2022/10/11 10:31:17]

從A的定義中可以看出?,當p↓和p↑越接近時，A則越大，流動性集中度越高：

Uniswapv3中，只有能被tickSpacing整除的tick才能被預設。因此，tickSpacing決定了LP分配流動性的最低價格范圍。tickSpacing越小，價格范圍越窄、越精確。在Uniswapv3中，不同的費用等級決定了不同的tickSpacing。

然而，crvUSDLLAMMA不需要那麼多tickSpacing。由于LLAMMA僅有ETH-crvUSD,因此只需要讓每一個tickSpacing=100basepoint。?

來自Uniswapv3的公式(6.1)：

比特幣礦企Core Scientific簽訂75兆瓦托管協議:7月26日消息，比特幣礦企Core Scientific今天宣布已簽訂托管協議，將其托管業務增加75兆瓦。

在ASIC服務器全面部署后，最近簽署的托管協議將產生約5000萬美元的年收入。此外，該協議還提供了足夠的預付款項，以資助75兆瓦能源所需的額外基礎設施。服務器部署將在今年第三季度開始，全面部署將在2022年完成。隨著這些設備的增加，公司預計年底前將在其數據中心運行大約325000個ASIC服務器（結合了自挖礦和托管）。（Business Wire）[2022/7/26 2:39:01]

在LLAMMA中，A=100，來自Curve穩定幣白皮書的公式(11)：

設置n=-i,A=100,我們會得到：

設計Pcd和Pcu

我們希望LLAMMA具有以下屬性：當ETH價格上漲時，礦池購買ETH。當ETH下跌時，礦池出售ETH。在這樣的機制下，我們把Pcd和Pcu定義為Po的函數并且比線性函數更陡峭，因此它們的增長率會比Po更快。同時從圖中可以看出兩條曲線Pcu和Pcd分別通過兩點(P↓,P↓)和(P↑,P↑)。滿足以上要求的Pcd和Pcu其實有很多曲線。通用公式為：

當m<n

讓我們從最簡單的例子開始：

把Pcu和Pcd帶入I的平方展開：

然后f2可以計算為：

不難發現f2在這種假設下很難理解和計算。如果Pcu和Pcd是?Po的三次函數:

把Pcu和Pcd帶入I的平方展開：

重新計算f2：

可以看出，當?Pcu和Pcd是Po的三次函數，整個數學形式就簡單多了。去掉了平方根項，計算方便多了。如果接受更高的訂單，則AMM的價格和Po將相差很大，因此購買ETH的成本會更高，而導致更大的清算損失。總之，把Pcu和Pcd定義為Po的三次函數是一個更好的選擇。

其他參數的推導

Pcu和Pcd是關于Po的三次函數,取特別數值Po=P↑,不難得到Y=Y0和X=0，于是：

鑒于I的公式，我們可以計算f和g：

在這邊，我們最終得到完整的恒定乘積公式：

將上方公式轉化為Y0二次方程式：

用一個未知數的二次方程求解Y0：

如果價格變動的夠慢讓預言機價格Po完全有能力遵循它，給定X和Y，使用Uniswapv3的計算公式，是有可能計算出ETH的Y↑是多少或美元的X↓最終將處于的區間內：

參考出處：Adams,Hayden,etal."Uniswapv3core."Tech.rep.,Uniswap,Tech.Rep,2021fromhttps://uniswap.org/whitepaper-v3.pdfEgorov,Michael,andCurveFinance.Curvestablecoindesign.Technicalreport,CurveFinance,Tech.Rep,2022fromhttps://github.com/curvefi/curve-stablecoin/blob/master/doc/curve-stablecoin.pdf

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