白話解析 RSA 加密算法的數學原理_POO

從自然數開始，一直講明白了RSA非對稱式加密的細節。前不久Jason同學邀請復旦大學數學系的梅同學給希望了解Web3的朋友們上了5節硬核的數學課。從自然數開始，一直講明白了RSA非對稱式加密的細節。我再回顧一下，嘗試解釋這個其實還挺復雜的事兒。

大數無法分解

3*7算出21容易嗎？容易。反過來，21是哪兩個數的乘積？也不難，但肯定比算3*7麻煩。

同理967*379=366493容易。反過來，366493是哪兩個數乘積？難多了。

隨著乘積的不斷變大，算乘法的難度略微增大，算是這個數是由哪兩個數相乘的難度陡峭的增加。

一個一百位數字的數和一百位數字的數相乘，手工算不容易，但對計算機來說不難，結果是一個大約兩百位數字的數字。

反過來，把這個200位的數字分解？基本上現在能想到的辦法就是近似于一個一個的試。別說算乘法了，光從一數到80位的數字，按照現在的計算水平，就要消耗掉一個中等恒星一生的能量了。所以，簡單結論是，超級大的數字做分解不可能。

就利用這個簡單的原理，加上聽起來故弄玄虛的歐拉定理，就是一個精妙絕倫的RSA加密算法。

TON基金會發布公告稱希望非活躍創始地址在2023年前激活:金色財經報道，TON 基金會在 Telegram 上發布公告稱，由于部分創始地址常年不活躍，導致各個數據統計網站統計的數據不一，使得社區對 TON 的代幣經濟學產生了疑惑。TON 基金會稱，目前持有超過 1 枚 TON 的非活躍地址有 204 個，持有總計 10.8 億枚代幣，希望這些地址持有者在北京時間 2023 年 1 月 1 日 8:00 前激活地址并向任何地址進行轉賬，以使得 CoinMarketCap 等數據網站能獲得更加準確的數據。[2022/12/18 21:51:55]

n進制取個位

這個東西的數學名稱叫「取模」，就是算「一個數除以n以后的余數是幾」。

不過我們不用這個名字。我自己發明的一個混雜了數學和計算機的概念，叫做?n進制取個位。比如n=8，八進制下只取個位，超過的十、百、千位數就直接扔掉，那么15這個數本來八進制就是17，只取個位，就是?7。所以，我們規定，15在八進制個位模式下，就等于7。同樣，23，31等，在8進制取個位下，都等于7。這個「等于」，不是絕對數字的相等，而是經過了?n進制取個位，我們用?≡?表示這種特殊的等于。

Web3慈善項目為貧困兒童籌集了5萬美元:金色財經報道，由Emonee LaRussa和她在JumpStart Designers的團隊創建的一個Web3慈善項目已經為貧困兒童籌集了令人印象深刻的50,000美元。這個非凡的項目由MoonPay提供支持，并以全球一些最著名的NFT藝術家的作品為特色。Bobby Hundreds、Coldie、Fvckrender、Drifter等藝術家都參與其中。(nftevening)[2022/11/20 22:08:32]

這樣，如果n是4萬公里的話，數字的世界變成像地球一樣，是一個循環。在赤道上可以向東走?1萬公里，和向西走?3萬公里結果是一樣的，甚至向西走?7萬，11萬，15萬公里的終點是一樣的，就是一圈一圈的轉就是了。所以4萬進制取個位，1萬?≡?-7萬?≡-11萬?≡-15萬。注意，畢竟走7萬公里和走11萬公里不相等(=?)，但是在地球赤道上走，他們的效果相等?(?≡?)。

例子：比如在?20?進制取個位下，3*7?的結果就是?1?。

連著乘兩個數就是它本身

這有啥用呢？神奇的事情在于，在?20進制取個位下，任何數乘以3再乘以7，就相當于乘以?1，就是這個數本身！

美聯儲布拉德：仍然希望今年將利率提高到3.75%-4%:8月3日消息，美聯儲布拉德表示：仍然希望今年將利率提高到3.75%-4%，我更喜歡提前加息。(金十)[2022/8/3 2:56:35]

比如?12*3?=36；36%20=?16;?16*7?=112;112%20=?12

變回原來了。神奇嗎？

在?20進制取個位下，你把一個數乘以3，我不用除以3，而是繼續乘以7，就是原來那個數。不僅僅是7，我把乘3的數字乘以67，127，或者187。。。。它都會回到原來那個數，只是轉的圈數多了些。

這就使得，如果兩個數在一個?n進制取個位下乘積為1，這兩個數不就是一個很好的加密和解密的工具嗎？

比如數字大一點，在366492進制取個位下，任何數乘以?967得到的數再乘以379，就是它本身。

公鑰和密鑰

如果我把?e=967?當做公鑰，d=379?當做密鑰，我只需要告訴別人這兩個數字，別人乘積以后交給我，我再乘以d，然后。。。。

不過有一個小問題，如果給出了這兩個數，別人除以e不就得到了我的秘鑰d嗎？畢竟，你可以算乘法，別人就可以算除法，而且難度差不多。我們把這個辦法成為露餡兒加密法。

PoolTogether將于7月27日開啟OP獎勵活動:7月22日消息，無損彩票項目PoolTogether宣布在Optimism上線2周后，將向使用PoolTogether進行儲蓄的用戶發放45萬枚OP獎勵。第一階段將于北京時間7月27日01:00開始，為PoolTogetherOptimism存款者每周提供2.5萬枚OP獎勵。[2022/7/22 2:31:57]

接下來要做的事情，就是想辦法把這自己的密鑰藏起來，讓別人拿到n進制數，還有公鑰e，沒有辦法算出我的密鑰，但是依然可以用e加密，我可以用私鑰d解密不就好了？

歐拉定理

我們引入?φ(n)。它的定義可厲害了，是「小于?n?的正整數中和?n?互質的數的個數」。這個定義忽略就好，只要知道，如果n是兩個素數p,q的乘積的話，?φ(n)=(p-1)(q-1)。

歐拉發現了一個驚天大秘密，居然在?n進制取個位下，如果m和n互為質數，m的φ(n)次方居然等于1：

m^?φ(n)?≡?1

兩邊都取k次方：

m^?(k*?φ(n))?≡?1

兩邊都乘以m：

Alameda向FTX轉入約3930萬枚USDC:金色財經報道，PeckShield監測顯示，Alameda FTX Deposit錢包地址（0x83a127952d266A6eA306c40Ac62A4a70668FE3BD）向FTX轉入約3930萬USDC。[2022/7/11 2:05:30]

m^?(k*?φ(n)+1)?≡?m

k*?φ(n)+1?是啥意思？就是這是一個「除以??φ(n)余數為1」的數字。也就是說，只要找到e*d這兩個數，使得他們的乘積除以?φ(n)?余數為1就好。這個好找，有一個叫做輾轉相除法的方法，不過這里先略過。我們一般常常把e固定的設為65537，然后就可以找到一個滿足的d。

最后，也就是最驚艷的一步，如果我們能夠找到這樣的e,d，我們把?e?和?n?告訴整個世界，讓他們在?n進制取個位下，把要加密的數字?m?取?e?次方發給我，我對這個數再進行d次方，我就能得到m。

(m?^e)^?d?≡?m

重新梳理

到現在大家應該已經無一例外的暈厥了。這很正常。我們再理一下就清楚了。

就是說，如果我能無論用什么方法，找到一個進制n，在這個?n進制取個位下，能夠找到兩個數字e和d，e公開給整個世界，d留給自己，同時還能讓任何數字m的e次方的d次方還等于原來這個m，加密解密算法不就成立了嗎？就跟最早我說的那個乘以一個數，再乘以另一個數，總等于原來的數字一樣？

但露餡兒加密法兩個乘法的算法的明顯的漏洞在于，e和n給出了，d也就給出了。

在這個新的算法中，e給出了。n給出了，但e*d??≡?1的進制，不是簡單地?n，而是和n同源，但是不同的?φ(n)?。正因為進制改了，所以也不能用露餡兒加密法里面的兩次乘法，而借用歐拉的驚天發現，做了兩次冪運算。

從?n?能不能算出來??φ(n)?呢？如果有能力分解n當然?φ(n)?唾手可得，把兩個因子各自減一再乘起來就好。

但是從n能不能輕易地找到p和q呢？根據最早的大數不可分解，要想找到100個太陽燒掉都不夠用，p和q好像是腳手架，算出來n，算出來?φ(n)就扔掉了。?那么??φ(n)?就是一個秘密。如果?φ(n)?是個秘密，有了e也找不到d。

所以，整個算法是無比精巧的安全。

舉例子

我們找兩個腳手架數字：p=2,q=7，算出n=2*7=?14,??φ(n)?=?(2-1)*(7-1)=?6?。那兩個腳手架數字p,q在算出n和?φ(n)后就退休了。找在?6進制取個位下，e*d?≡?1好辦，e=5,d=11就行。

這樣，公布給全世界的數字就是(e=5,n=14)，保留給自己的就是d=11。φ(n)千萬也不能告訴任何人。φ(n)?就如同總統，n如同他的影子。世界只能看到他的影子，看不到總統本人。好在影子在世間行走不怕暗殺，總統躲在防空洞里是安全的。

我們來試一下，在?14?進制個位模式下，如果要傳遞的數字?m=?2，別人把m^e算出來，就是2^?5=?32?=2*?14?+4?≡?4

現在，4就可以大大咧咧的在互聯網上隨便傳輸了。只有我知道有一個秘密是11。我拿到以后，算4的11次方，4^11?≡?4,194,304%14?≡?2?，不就是別人要給我的那個數字嗎？前提是，我們認為別人從n=14無法分解成2*7，否則就全露餡了。

14肉眼可以看出等于2*7。

這個數n：

8244510028552846134424811607219563842568185165403993284663167926323062664016599954791570992777758342053528270976182274842613932440401371500161580348160559?

是p

91119631364788082429447973540947485602743197897334544190979096251936625222447

乘以q

90480063462359689383464046547151387793654963394705182576062449707683914045697

計算機眼也看不出來。?p和q如同兩位門神，死死的守住了獲取它們后面的秘密的入口。但是從p，q算出?φ(n)?，以及e，d，卻都是舉手之勞。

如果知道n的組成是p，q，我們按照上面的算法可以選出來e和d：

65537

2545549238258797954286678713888152865623498585866759298032549597771444725977268190722532488574321463855938811396613702406984581214587037347197409962813953

也就是說，這個游戲，任何人要把一個數字m傳給我，只需要在n進制取個位下，對它進行65537次冪，我再把它進行d次冪，我就拿回了原來的數字。

這個精巧的算法，就是RSA加密算法。

希望有人能夠看明白。我真的是盡力了。

原文標題：《用吃奶的勁試著解釋加密算法的數學原理》

撰文：王建碩

來源：ForesightNews

來源：金色財經

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